Anti-Knight-Non-Conの解空間
ルール
通常の数独に
隣り合う数字は1つ違いにならない
ナイトの効きの位置にある数字は異なる
を加えたもの
解盤面数は48552
分析指標
PureとRotationという指標を導入します。
Pure
数独の9x3ブロックの組み合わせは
中央上の3マスに入る数字の集合の選び方によって、本質的に2通りに分類できます。
パターン1. 中央上ブロックが左ブロック2行目、もしくは3行目と一致するパターン
table: table1
(A,B,C) {D,E,F} {*,*,*}
(D,E,F) {*,*,*} {*,*,*}
(G,H,I) {*,*,*} {*,*,*}
選び方は {D,E,F}, {G,H,I}の2通りです。
パターン2. 中央上ブロックが左ブロック2行目、もしくは3行目と一致しないパターン
table: table2
(A,B,C) {D,E,G} {*,*,*}
(D,E,F) {*,*,*} {*,*,*}
(G,H,I) {*,*,*} {*,*,*}
選び方は $ {}_6 \mathrm{C}_3 - 2 = 18通りです
パターン1の場合、残りの組み合わせは1通りに定まります。
table: table1'
(A,B,C) {D,E,F} {G,H,I}
(D,E,F) {G,H,I} {A,B,C}
(G,H,I) {A,B,C} {D,E,F}
パターン2の場合、残りの組み合わせは3通りあります。
table: table2'
(A,B,C) {D,E,G} {F,H,I}
(D,E,F) {H,I,*} {G,#,#}
(G,H,I) {F,#,#} {D,E,*}
*の選び方が $ (A,B,C)の3種類あり、それによって#が確定します。
ここでは、パターン1の配列をPureと呼ぶことにします。
数独盤面中に9*3のブロックは6つ存在するので、
盤面に存在するPure配列の個数に応じて
盤面を0-Pure, 1-Pure, ... , 6-Pureと呼ぶことにします。
Rotation
https://gyazo.com/9747cd02f064647988d3aff1fbdae207
行または列に見た時、
同じ数字から数え始めた時の数字の順番が同じペアを
Rotationが一致する行と呼ぶことにします。
行または列で、一致するRotationが多い方を基準として、
9-Rotation, (3,3,3)-Rotation
のように呼ぶことにします。
https://gyazo.com/03dede1114211606dcb9aca9d8420087
▲RotationかつPureな9*3ブロックの例
Anti-Knight-Non-Conの分析
これらの指標でAnti-Knight-Non-Conを分析します。
解盤面数は
6-Pure
9-Rotation: 45864
(6,3)-Rotation: 1728
(3,3,3)-Rotation: 216
5-Pure
4-Rotation: 64
3-Rotation: 32
1-Pure (Center)
中央の9*3ブロック1つがPureになっているもの
6-Rotation: 360
1-Pure (Edge)
外側の9*3ブロック1つがPureになっているもの
6-Rotation: 288
それぞれの盤面
6-Pure
https://gyazo.com/03dede1114211606dcb9aca9d8420087
この形が3つ繋がったもののみを考えれば良い。
5-Pure
4-Rotation
本質的に1盤面で表現できる
https://gyazo.com/f5013e86065b1cdf0d27f603226e4f78
1-2, 8-9はそれぞれどちらかを選択 (選び方4通り)
10の補数変換 (2通り)
回転・反転 (8通り)
の合計64通り
3-Rotation
本質的に1盤面で表現できる
https://gyazo.com/c19abe0709513a01a1c05ef09f27d732
7-9はどちらかを選択(2通り)
10の補数変換 (2通り)
回転・反転 (8通り)
の合計32通り
1-Pure (Center)
Rotationは6
https://gyazo.com/cee6431ca858ff7e4d7765cadd5e620d
水色部分がPureなブロック、
緑線が共通のRotationを持ち、その並びは726159483の逆順及び10の補数のどれかになっている。
残る2つのRotationはR1R3のどちらかとR7R9のどちらかに1つずつ
https://gyazo.com/ef1a29847e4d7d941c3bd848405a6f6c
中央の並びはこの形固定
1-Pure (Edge)
https://gyazo.com/537db5cb2c7edd6f8d14943f437f41fe
水色部分がPureなブロック
緑線が共通のRotationを持ち、その並びは726159483の逆順及び10の補数のどれかになっている。
さらに上の4行は並び方も決まっており、
https://gyazo.com/c80eedb1ed6a727bf1902c324858cfda
のどこかを切り取ったものか、
その逆順か10の補数となる。
726159483
https://gyazo.com/efe7763fd32c2d77cf09ad00a62610b5
5を中心として、10の補数が並んでいる。隣り合う数字の差は4か5となる配列。