逆射の一意性

方針検討

恒等射を含む論理式は単位律しかない

多分これに代入すればなんかわかるだろう

証明

$ \forall A,B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f:A\to B\forall g,g':B\to A.

$ \begin{dcases}g\circ f={\rm id}_A\land f\circ g={\rm id}_B\\g'\circ f={\rm id}_A\land f\circ g'={\rm id}_B\end{dcases}

$ \implies g\circ f={\rm id}_A\land f\circ g=f\circ g'

$ \because代入

$ \implies g\circ f={\rm id}_A\land g\circ f\circ g=g\circ f\circ g'

$ \implies {\rm id}_A\circ g={\rm id}_A\circ g'

$ \implies g=g'

$ \because単位律

$ \underline{\therefore\forall A,B\in{\rm ob}(\mathscr A)\forall f:A\to B\forall g,g':B\to A.\begin{dcases}g\circ f={\rm id}_A\land f\circ g={\rm id}_B\\g'\circ f={\rm id}_A\land f\circ g'={\rm id}_B\end{dcases}\implies g=g'\quad}_\blacksquare