線形群
一般線形群を構成する部分群は非常に多い。
あまりにも多すぎて書き出していてびっくりしたSummer498.icon
群
結合律: $ a(bc)=(ab)c=abc
単位元: $ 1a=a1=aなる元$ 1が存在
逆元: $ a^{-1}a=aa^{-1}=1なる元$ a^{-1}が存在
一般線形群(general linear group): $ GL(n)
$ n\times n正方行列$ Aのうち、$ \det(A)\ne0のもの。
行列とその積からなる群の中で最も一般的なもの。
課される条件は必要最低限。
任意の元に対して積を定義するために正方行列であることが要請される。
逆元の存在を保証するため$ \det(A)\ne0が要請される。
特殊線形群(special linear group): $ SL(n)\sub GL(n)
一般線形群のうち、$ \det(A)=1の元を集めたもの。
$ \frac{A}{\det A}により、一般線形群からの準同型を確かめられる。
群を成すことの確認
結合律: 行列積は結合律を満たす。
単位元: 単位行列は$ \det(I)=1を満たすので、特殊線形群の単位元も単位行列。
逆元: $ \det(A)=1\Leftrightarrow\det(A^{-1})=1を満たすので、任意の元に逆元が存在する。
直交群(orthogonal group): $ O_\R(n)\sub GL_\R(n)
一般線形群のうち、$ A^\top A=Iの元を集めたもの。
$ \det(A)=1の元からなる部分群と、$ \det(A)=-1の元からなる部分半群に分かれ、これらは交わらない。
すなわち、2つの異なる連結成分を持つ。
群を成すことの確認
結合律: 行列積は結合律を満たす。
単位元: 単位行列は$ I^\top I=Iを満たすので、直交群の単位元も単位行列。
逆元: $ A^{-1}=A^\topなので、任意の元に逆元が存在する。
特殊直交群(special orthogonal group): $ SO_\R(n)\sub SL_\R(n)、$ SO_\R(n)\sub O_\R(n)
特殊線形群のうち、$ A^\top A=Iの元を集めたもの。
あるいは、直交群のうち、$ \det(A)=1の元を集めたもの。
群を成すことの確認
結合律: 行列積は結合律を満たす。
単位元: 単位行列は$ I^\top I=Iを満たすので、特殊直交群の単位元も単位行列。
逆元: $ A^{-1}=A^\topなので、任意の元に逆元が存在する。
ユニタリ群(unitary group): $ U_\mathbb C(n)\sub GL_\mathbb C(n)
一般線形群のうち、$ A^\dag A=Iの元を集めたもの。
$ \det(A)=1の元からなる部分群と、$ \det(A)=-1の元からなる部分半群に分かれ、これらは交わらない。
すなわち、2つの異なる連結成分を持つ。
群を成すことの確認
結合律: 行列積は結合律を満たす。
単位元: 単位行列は$ I^\top I=Iを満たすので、ユニタリ群の単位元も単位行列。
逆元: $ A^{-1}=A^\topなので、任意の元に逆元が存在する。
特殊ユニタリ群(special unitary group): $ SU_\mathbb C(n)\sub SL_\mathbb C(n)
特殊線形群のうち、$ A^\dag A=Iの元を集めたもの。
あるいは、ユニタリ群のうち、$ \det(A)=1の元を集めたもの。
群を成すことの確認
結合律: 行列積は結合律を満たす。
単位元: 単位行列は$ I^\dag I=Iを満たすので、特殊ユニタリ群の単位元も単位行列。
逆元: $ A^{-1}=A^\dagなので、任意の元に逆元が存在する。
斜交群(symplectic group): $ Sp(2n)\sub GL(2n)
一般線形群のうち、$ A^\top\Omega A=\Omegaを満たすもの。
ただし、$ \Omega=\begin{bmatrix}O&I_n\\-I_n&O\end{bmatrix}、$ \Omega^{-1}=\begin{bmatrix}O&-I_n\\I_n&O\end{bmatrix}
群を成すことの確認
結合律: 行列積は結合律を満たす。
単位元: 単位行列は$ I^{\top}\Omega I=Iを満たすので、斜交群の単位元も単位行列。
逆元: $ A^{-1}=\Omega^{-1}A^\top\Omegaなので、任意の元に逆元が存在する。
四元ユニタリ群$ U_\mathbb H(n)は斜交群と同じ振る舞いをする。
$ Sp_\R(2n)と$ Sp_\mathbb C(2n)と$ Sp_\mathbb H(n)=U_\mathbb H(n)でリー群として分析した際の結果が異なる。
その他
正方上三角行列は群を成す
$ \det(A)=1のものも群を成す。
正方下三角行列は群を成す
$ \det(A)=1のものも群を成す。
正方対角行列は群を成す
$ \det(A)=1のものも群を成す。