環と環準同型写像の普遍性

from そこそこまあまあ精密に読む『ベーシック圏論普遍性からの速習コース』

環と環準同型写像の普遍性

ここで身構えたが、どちらも知らなくても(takker.iconには)理解できるように書かれていたtakker.icon

任意の環$ Aは乗法単位元$ 1_Aと加法単位元$ 0_Aと$ \forall a\in Aに対して加法逆元$ -aをもつものとする

任意の環$ A,Bについて、以下を満たす写像$ \phi: A\to Bを環準同型写像と呼ぶ

乗法単位元を保つ：$ 1_A\xmapsto\phi1_B

加法単位元を保つ：$ 0_A\xmapsto\phi0_B

加法を保つ：$ \forall n\in A.\phi(n)=\underbrace{\phi(1_A)+\cdots\phi(1_A)}_n

逆元を保つ：$ \forall n\in A.\phi(-n)=-\phi(n)

任意の環$ Aと$ Rについて、

$ P(A,B):\iff\exist!f:A\to B.\text{fは環準同型写像である}

環$ Zが$ \forall R.P(Z,R)だとする

$ \phi:Z\ni n\mapsto\begin{dcases}\underbrace{1+\cdots+1}_n&\text{if }n>0\\0&\text{if }n=0\\-\phi(-n)&\text{if }n<0\end{dcases}\in Rが$ Pの定義にある環準同型写像となる

うーん、当たり前なのでパス！takker.icon

補題0.3 $ \forall A,Z.(\forall R.(P(A,R)\land P(Z,R))\implies A\cong Z)

$ A,Z,Rは環とする

ここで、$ \forall R.P(A,R)を満たす環$ Aを始対象と呼ぶことにする

例0.3の$ Zは始対象

証明

$ \forall A,Zにて

$ \forall R.P(A,R)\land P(Z,R)

$ \implies\begin{dcases}\exist!\phi:A\to Z.\phi\text{は環準同型写像である}\\\exist!\psi:Z\to A.\psi\text{は環準同型写像である}\\\exist!{\rm id}_A:A\to A.{\rm id}_A\text{は環準同型写像である}\\\exist!{\rm id}_Z:Z\to Z.{\rm id}_Z\text{は環準同型写像である}\end{dcases}

$ {\rm id}_\bullet：$ \bulletの恒等写像

テキストでは$ 1_\bulletが恒等写像の記号として使われているが、この補題のメモでは乗法単位元$ 1_Aなどと記号がかぶってしまうので、別の記号にした

$ \rm id_\bulletという書き方も一般に使われる

$ \iff\begin{dcases}\exist!\phi:A\to Z.\phi\text{は環準同型写像である}\\\exist!\psi:Z\to A.\psi\text{は環準同型写像である}\\\exist!{\rm id}_A:A\to A.{\rm id}_A\text{は環準同型写像である}\\\exist!{\rm id}_Z:Z\to Z.{\rm id}_Z\text{は環準同型写像である}\\\phi\circ\psi={\rm id}_A\\\psi\circ\phi={\rm id}_Z\end{dcases}

$ \implies\exist\xi:A\to Z.\xi\text{は全単射}

$ \underline{\iff A\cong Z\quad}_\blacksquare

$ A\cong Zを環同型と呼ぶ

TODO：図式で書き直す