狭義の順序
非反射律$ \forall x\in U.\lnot(x<x) 非反射的反対称律$ \forall x,y\in U.x<y\implies\lnot(y<x) 推移律$ \forall x,y,z\in U.x<y\land y<z\implies x<z 三分律$ \forall x,y\in U.x<y\veebar y<x\veebar x=y 非反射率と非対称律が成り立つなら、$ \veebarを$ \lorに変えても成り立つ テキストは$ \lorを採用している
$ \begin{dcases}\forall x\in U.\lnot(x<x)\\\forall x,y,z\in U.x<y\land y<z\implies x<z\end{dcases}
$ \implies\begin{dcases}\forall x\in U.\lnot(x<x)\\\forall x,y\in U.x<y\land y<x\implies x<x\end{dcases}
$ \implies\forall x,y\in U.x<y\land y<x\implies\bot
$ \iff\forall x,y\in U.\lnot(x<y\land y<x)
$ \iff\forall x,y\in U.\lnot(x<y)\lor\lnot(y<x)
$ \underline{\iff\forall x,y\in U.x<y\implies\lnot(y<x)\quad}_\blacksquare
2. $ x<y:\iff(x\le y\land x\neq y)とする。以下を証明せよ
2. 1.$ (U,\le)が半順序集合なら$ <は非反射律と推移律を満たす 非反射律は$ \leが任意の2項関係でも成り立つ
$ \forall x\in U.
$ x<x
$ \iff x\le x\land x\neq x
$ \implies x\neq x
$ \iff\bot
$ \therefore\forall x\in U.\lnot(x<x)
推移律
$ \forall x,y,z\in U.
$ x<y\land y<z
$ \iff x\le y\land x\neq y\land y\le z\land y\neq z
$ \iff x\le y\land x\neq y\land y\le z\land y\neq z
$ \land(x=z\implies x\le y\land y\le x
$ \implies x=y
$ \implies\bot)
$ \because x\neq y
$ \implies x\le y\le z\land x\neq z
$ \implies x\le z\land x\neq z
$ \iff x<z
$ (U,\le)は半順序集合でもあるので、非反射律と推移律が成り立つことは2.1.より自明
$ \forall x,y\in U.x<y\lor y<x\lor x=y
$ \iff\forall x,y\in U.x<y\lor x=y\lor y<x\lor x=y
$ \underline{\iff\forall x,y\in U.x\le y\lor y\le x\quad}_\blacksquare
3. $ x\le y:\iff x<y\lor x=yとする。以下を証明せよ
3. 1. 2.1.の逆が成り立つことを示せ
反射律
推移律
反対称律
3. 2. 2.2.の逆が成り立つことを示せ
完全律