座標変換と計量行列を統一的に表す
まだ書き途中takker.icon
座標変換行列$ a_{ij}
決まった名前はない
共変計量行列$ g_{ij}
基底$ {\sf E}:=(\pmb e_0,\pmb e_1,\cdots,\pmb e_n), {\sf F}:=(\pmb f_0,\pmb f_1,\cdots,\pmb f_n)があったとき、2階tensor$ \pmb Aの$ ij成分は
(EとE)$ \pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb e_j
(FとF)$ \pmb f_i\cdot\pmb A\cdot\pmb f_j
(EとF)$ \pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb f_j
と表せる。
成分を表す新しい記号を導入する
$ [\pmb A]^{\sf EF}_{ij}:=\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb f_j=\pmb A:\pmb e_i\pmb f_j
$ [\pmb A]^{\sf EF}:=\begin{pmatrix}\pmb e_0\cdot\pmb A\cdot\pmb f_0&\pmb e_0\cdot\pmb A\cdot\pmb f_1&\cdots&\pmb e_0\cdot\pmb A\cdot\pmb f_n\\\pmb e_1\cdot\pmb A\cdot\pmb f_0&\pmb e_1\cdot\pmb A\cdot\pmb f_1&\cdots&\pmb e_1\cdot\pmb A\cdot\pmb f_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\pmb e_n\cdot\pmb A\cdot\pmb f_0&\pmb e_n\cdot\pmb A\cdot\pmb f_1&\cdots&\pmb e_n\cdot\pmb A\cdot\pmb f_n\end{pmatrix}
添字が無いときは、表現行列と一致させる
他の階数の場合
$ [\pmb a]^{\sf E}_i:=\pmb a\cdot\pmb e_i
$ [{\cal\pmb A}]^{\sf EFG}_{ijk}:={\cal\pmb A}\vdots\pmb e_i\pmb f_j\pmb g_k
$ \vdotsは3重縮合
計算
$ [\pmb A]^{\sf FG}=[\pmb I\pmb A\pmb I]^{\sf FG}
$ =[\pmb I]^{\sf F\bar E}[\pmb A]^{\sf EE}[\pmb I]^{\sf\bar EG}
$ [\pmb A]^{\sf\bar E\bar E}=[\pmb I\pmb A\pmb I]^{\sf\bar E\bar E}
$ =[\pmb I]^{\sf\bar E\bar E}[\pmb A]^{\sf EE}[\pmb I]^{\sf\bar E\bar E}
座標変換は元のtensorを変化させない→元が恒等テンソルなんだから当然
課題
複素線型空間への拡張を試していない
$ \bar Eという表記が衝突しそう