座標変換

線形代数の基礎

ベクトルと線形写像

像がベクトルの写像自体もベクトル空間を成す:

$ {\rm Im}(\phi),{\rm Im}(\psi)\in V\quad,\quad (k\phi+\psi)(x):=k\phi(x)+\psi(x)

係数と基底

$ w^1\bm\epsilon_1+w^2\bm\epsilon_2+w^3\bm\epsilon_3+w^4\bm\epsilon_4=A(x^1\bm e_1+x^2\bm e_2+x^3\bm e_3+x^4\bm e_4)

$ \sum_{i}w^i\bm\epsilon_i=A\sum_jx^j\bm e_j

$ \sum_{i}w^i\bm\epsilon_i=\left(\sum a^i_j(\bm\epsilon_i\otimes\bm e^j)\right)\left(\sum_jx^j\bm e_j\right)

行列

$ A=\lbrack a^i_j\rbrack_{ij}=\underbrace{\begin{bmatrix}a^1_1&a^1_2&a^1_3&a^1_4\\a^2_1&a^2_2&a^2_3&a^2_4\\a^3_1&a^3_2&a^3_3&a^3_4\\a^4_1&a^4_2&a^4_3&a^4_4\end{bmatrix}}_{\rm matrix}

$ \begin{bmatrix}w^1\\w^2\\w^3\\w^4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a^1_1&a^1_2&a^1_3&a^1_4\\a^2_1&a^2_2&a^2_3&a^2_4\\a^3_1&a^3_2&a^3_3&a^3_4\\a^4_1&a^4_2&a^4_3&a^4_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^1\\x^2\\x^3\\x^4\end{bmatrix}

行列式:

要求:

$ ={\color{blue}k}\det(\begin{bmatrix}\bm a_1&\cdots&\bm a_{i-1}&{\color{red}\bm x}&\bm a_{i+1}&\cdots&\bm a_n\end{bmatrix})

$ +\det(\begin{bmatrix}\bm a_1&\cdots&\bm a_{i-1}&{\color{green}\bm y}&\bm a_{i+1}&\cdots&\bm a_n\end{bmatrix})

実装:

$ \det A=\sum_{\sigma\in{\rm Aut}(n)}{\rm sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a^i_{\sigma(i)}

内積・外積

$ \overline A=\lbrack \overline{a^{\color{red}i}_{\color{green}j}}\rbrack_{{\color{red}i}{\color{green}j}}

外積:

$ \bm a\times_2\bm b=(a^1b^2-a^2b^1)

$ =\det\begin{bmatrix}a^1&a^2\\b^1&b^2\end{bmatrix}

$ \bm a\times_3\bm b=(a^2b^3-a^3b^2)\bm e_1+(a^3b^1-a^1b^3)\bm e_2+(a^1b^2-a^2b^1)\bm e_3

$ =\det\begin{bmatrix}a^1&a^2&a^3\\b^1&b^2&b^3\\\bm e_1&\bm e_2&\bm e_3\\\end{bmatrix}

$ \bm a\times_4\bm b=\det\begin{bmatrix}a^1&a^2&a^3&a^4\\b^1&b^2&b^3&b^4\\\bm e_1&\bm e_2&\bm e_3&\bm e_4\\\bm e_1&\bm e_2&\bm e_3&\bm e_4\\\end{bmatrix}=a^1b^2\bm e_3\bm e_4+\cdots

双対ベクトル

$ \lang\bm x,\bm y\rang=\lang\bm x^*,\bm y\rang=\lang\bm x,\bm y^*\rang=\lang\bm x^*,\bm y^*\rang=\bm x^\dag H\bm y

正規直交座標系

速度と加速度

$ \bm v=\dot{\bm x}=\begin{bmatrix}\dot{x}\\\dot{y}\\\dot{z}\end{bmatrix}

$ \bm a=\ddot{\bm x}=\begin{bmatrix}\ddot{x}\\\ddot{y}\\\ddot{z}\end{bmatrix}

ベクトル解析

一般基底変換

$ {\color{red}x}={\color{red}x}({\color{magenta}\xi},{\color{#f80}\psi},{\color{#0cc}\zeta})

$ {\color{green}y}={\color{green}y}({\color{magenta}\xi},{\color{#f80}\psi},{\color{#0cc}\zeta})

$ {\color{blue}z}={\color{blue}z}({\color{magenta}\xi},{\color{#f80}\psi},{\color{#0cc}\zeta})

$ \begin{bmatrix}\color{red}{\rm d}x\\\color{green}{\rm d}y\\\color{blue}{\rm d}z\end{bmatrix}=\underbrace{\begin{bmatrix}\frac{\color{red}\partial x}{\color{magenta}\partial \xi}&\frac{\color{red}\partial x}{\color{#f80}\partial \psi}&\frac{\color{red}\partial x}{\color{#0cc}\partial \zeta}\\\frac{\color{green}\partial y}{\color{magenta}\partial \xi}&\frac{\color{green}\partial y}{\color{#f80}\partial \psi}&\frac{\color{green}\partial y}{\color{#0cc}\partial \zeta}\\\frac{\color{blue}\partial z}{\color{magenta}\partial \xi}&\frac{\color{blue}\partial z}{\color{#f80}\partial \psi}&\frac{\color{blue}\partial z}{\color{#0cc}\partial \zeta}\end{bmatrix}}_{=J_{e/\epsilon}}\begin{bmatrix}\color{magenta}{\rm d}\xi\\\color{#f80}{\rm d}\psi\\\color{#0cc}{\rm d}\zeta\end{bmatrix}

$ \bm v_{\rm ec}=\begin{bmatrix}{\color{red}\bm e_x}&{\color{green}\bm e_y}&{\color{blue}\bm e_z}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\color{red}{\rm d}x}\\{\color{green}{\rm d}y}\\{\color{blue}{\rm d}z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{magenta}\bm\epsilon_\xi}&{\color{#f80}\bm\epsilon_\psi}&{\color{#0cc}\bm\epsilon_\zeta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\color{magenta}{\rm d}\xi}\\{\color{#f80}{\rm d}\psi}\\{\color{#0cc}{\rm d}\zeta}\end{bmatrix}

$ =\left(\begin{bmatrix}{\color{magenta}\bm\epsilon_\xi}&{\color{#f80}\bm\epsilon_\psi}&{\color{#0cc}\bm\epsilon_\zeta}\end{bmatrix}J_{e/\epsilon}^{-1}\right)\left(J_{e/\epsilon}\begin{bmatrix}{\color{magenta}{\rm d}\xi}\\{\color{#f80}{\rm d}\psi}\\{\color{#0cc}{\rm d}\zeta}\end{bmatrix}\right)

$ \bm v_{\rm ec}=\bm e_i x^i=(\bm \epsilon_\mu(J_{\epsilon})_i^\mu)((J_{/\epsilon})_\mu^i\xi^\mu)=\bm\epsilon_\mu\xi^\mu

$ \bm\epsilon_\mu\xi^\mu=(\bm e_i(J_{/\epsilon})^i_\mu)((J_\epsilon)^\mu_i x^i)=\bm e_ix^i

$ \begin{bmatrix}{\color{red}\bm e_x}&{\color{green}\bm e_y}&{\color{blue}\bm e_z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{magenta}\bm\epsilon_\xi}&{\color{#f80}\bm\epsilon_\psi}&{\color{#0cc}\bm\epsilon_\zeta}\end{bmatrix}J_{e/\epsilon}^{-1}=\begin{bmatrix}{\color{magenta}\bm\epsilon_\xi}&{\color{#f80}\bm\epsilon_\psi}&{\color{#0cc}\bm\epsilon_\zeta}\end{bmatrix}J_{\epsilon/e}

$ \begin{bmatrix}{\color{red}\bm e_x}&{\color{green}\bm e_y}&{\color{blue}\bm e_z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\color{magenta}\bm\epsilon_\xi}&{\color{#f80}\bm\epsilon_\psi}&{\color{#0cc}\bm\epsilon_\zeta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{\color{magenta}\partial\xi}{\color{red}\partial x}&\frac{\color{magenta}\partial\xi}{\color{green}\partial y}&\frac{\color{magenta}\partial\xi}{\color{blue}\partial z}\\\frac{\color{#f80}\partial\psi}{\color{red}\partial x}&\frac{\color{#f80}\partial\psi}{\color{green}\partial y}&\frac{\color{#f80}\partial\psi}{\color{blue}\partial z}\\\frac{\color{#0cc}\partial\zeta}{\color{red}\partial x}&\frac{\color{#0cc}\partial\zeta}{\color{green}\partial y}&\frac{\color{#0cc}\partial\zeta}{\color{blue}\partial z}\end{bmatrix}

ただし、基底は(全て同時に)正規化されうる

$ {\rm unit}(\bm x)=\frac{\bm x}{\|\bm x\|}

$ {\rm unit}(J_{e/\epsilon})=\begin{bmatrix}{\rm unit}(\frac{\color{red}\partial x}{\color{magenta}\partial \xi}&\frac{\color{red}\partial x}{\color{#f80}\partial \psi}&\frac{\color{red}\partial x}{\color{#0cc}\partial \zeta})\\{\rm unit}(\frac{\color{green}\partial y}{\color{magenta}\partial \xi}&\frac{\color{green}\partial y}{\color{#f80}\partial \psi}&\frac{\color{green}\partial y}{\color{#0cc}\partial \zeta})\\{\rm unit}(\frac{\color{blue}\partial z}{\color{magenta}\partial \xi}&\frac{\color{blue}\partial z}{\color{#f80}\partial \psi}&\frac{\color{blue}\partial z}{\color{#0cc}\partial \zeta})\end{bmatrix}

計量:

$ g_{e,ij}=\lang\bm e_{i},\bm e_{j}\rang=\bm e_i^\dag H\bm e_j=(\bm\epsilon_\mu(J_\epsilon)^\mu_i)^\dag H(\bm\epsilon_\nu(J_\epsilon)^\nu_j)=(J_{\epsilon})_i^{\mu\dag}\lbrack\bm\epsilon_\mu^\dag H\bm\epsilon_\nu\rbrack(J_{\epsilon})_j^\nu=(J_{\epsilon})_i^{\mu\dag} g_{\epsilon,\mu\nu} (J_{\epsilon})_j^\nu

$ G_e=J_\epsilon^\dag G_\epsilon J_\epsilon

$ g_{\epsilon,\mu\nu}=\lang\bm\epsilon_\mu,\bm\epsilon_\nu\rang=\bm\epsilon_\mu^\dag H\bm\epsilon_\nu=(\bm e_i(J_{/\epsilon})_\mu^{i})^\dag H(\bm e_j(J_{/\epsilon})_\nu^j)=(J_{/\epsilon})_\mu^{i\dag}\lbrack\bm e_i^\dag H\bm e_j\rbrack(J_{/\epsilon})^j_\nu=(J_{/\epsilon})_\mu^{i\dag} g_{e,ij}(J_{/\epsilon})^j_\nu

$ G_\epsilon=J_{/\epsilon}^\dag G_eJ_{/\epsilon}=J_{\epsilon}^{-\dag}G_eJ_\epsilon^{-1}

$ \lang\bm\xi,\bm\psi\rang=\bm\xi^\dag H\bm\psi=(\bm\epsilon_\mu\xi^\mu)^\dag H(\bm\epsilon_\nu\psi^\nu)=(\xi^\mu)^\dag\lbrack\bm\epsilon_\mu^\dag H\bm\epsilon_\nu\rbrack\psi^\nu=g_{\epsilon,\mu\nu}\overline{\xi^\mu}\psi^\nu

$ {\rm d}s=\sqrt{\lang{{\rm d\bm x,{\rm d}\bm x}\rang}}=\sqrt{{\rm d}\bm x^\dag H{\rm d}\bm x}=\sqrt{g_{e,ij}x^ix^j}

$ {\rm d}\sigma=\sqrt{\lang{{\rm d\bm\xi,{\rm d}\bm\xi}\rang}}=\sqrt{{\rm d}\bm\xi^\dag H{\rm d}\bm\xi}=\sqrt{g_{\epsilon,\mu\nu}\xi^\mu\xi^\nu}

$ {\rm d}V=\det g_e=\det\lbrack\lang\bm e_i,\bm e_j\rang\rbrack_{ij}=\det\lbrack\bm e_i^\dag H\bm e_j\rbrack_{ij}

$ {\rm d}V=\det g_\epsilon=\det\lbrack\lang\bm\epsilon_\mu,\bm\epsilon_\nu\rang\rbrack_{\mu\nu}=\det\lbrack\bm\epsilon_\mu^\dag H\bm\epsilon_\nu\rbrack_{\mu\nu}

ユークリッド空間にて:

計量:

$ g_{e,ij}=\lang\bm e_{i},\bm e_{j}\rang=\bm e_i^\dag\bm e_j=((J_{\epsilon})_i^\mu)^\dag\lbrack\bm\epsilon_i^\dag\bm\epsilon_\nu\rbrack(J_{\epsilon})_j^\nu=((J_{\epsilon})_i^\mu)^\dag g_{\epsilon,\mu\nu} (J_{\epsilon})_j^\nu

$ G_e=J_\epsilon^\dag G_\epsilon J_\epsilon

$ g_{\epsilon,\mu\nu}=\lang\bm\epsilon_\mu,\bm\epsilon_\nu\rang=\bm\epsilon_\mu^\dag\bm\epsilon_\nu=((J_{/\epsilon})^i_\mu)^\dag\lbrack\bm e_i^\dag\bm e_j\rbrack(J_{/\epsilon})^j_\nu=((J_{/\epsilon})^i_\mu)^\dag g_{e,ij}(J_{/\epsilon})^j_\nu

$ G_\epsilon=J_{/\epsilon}^\dag G_eJ_{/\epsilon}=J_{\epsilon}^{-\dag}G_eJ_\epsilon^{-1}

$ \lang\bm\xi,\bm\psi\rang=\bm\xi^\dag\bm\psi=(\bm\epsilon_\mu\xi^\mu)^\dag(\bm\epsilon_\nu\psi^\nu)=(\xi^\mu)^\dag\lbrack\bm\epsilon_\mu^\dag\bm\epsilon_\nu\rbrack\psi^\nu=g_{\epsilon,\mu\nu}\overline{\xi^\mu}\psi^\nu

$ {\rm d}s=\sqrt{\lang{{\rm d\bm x,{\rm d}\bm x}\rang}}=\sqrt{{\rm d}\bm x^\dag{\rm d}\bm x}=\sqrt{g_{e,ij}x^ix^j}

$ {\rm d}\sigma=\sqrt{\lang{{\rm d\bm\xi,{\rm d}\bm\xi}\rang}}=\sqrt{{\rm d}\bm\xi^\dag{\rm d}\bm\xi}=\sqrt{g_{\epsilon,\mu\nu}\xi^\mu\xi^\nu}

$ {\rm d}V=\det g_e=\det\lbrack\lang\bm e_i,\bm e_j\rang\rbrack_{ij}=\det\lbrack\bm e_i^\dag\bm e_j\rbrack_{ij}

$ {\rm d}V=\det g_\epsilon=\det\lbrack\lang\bm\epsilon_\mu,\bm\epsilon_\nu\rang\rbrack_{\mu\nu}=\det\lbrack\bm\epsilon_\mu^\dag\bm\epsilon_\nu\rbrack_{\mu\nu}

斜交座標系

正規直交座標系→斜交座標系

$ \bm\chi=A\bm x

$ {\rm d}\bm\chi=A{\rm d}\bm x

斜交座標系→正規直交座標系

$ \bm x=A^{-1}\bm\chi

$ {\rm d}\bm x=A^{-1}{\rm d}\bm\chi

極座標系

正規直交座標系→極座標系

$ x=r\cos\theta

$ y=r\sin\theta

$ \begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{\rm d}r}\\{\rm d}\theta\end{bmatrix}

$ \begin{bmatrix}\bm e_x&\bm e_y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\bm e_r&\bm e_\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\frac1r\sin\theta&\frac1r\cos\theta\end{bmatrix}

$ \begin{bmatrix}\dot{x}\\\dot{y}\end{bmatrix}=\frac1{{\rm d}t}\begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\end{bmatrix}=\frac1{{\rm d}t}\begin{bmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{\rm d}r}\\{\rm d}\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\dot r}\\r\dot\theta\end{bmatrix}

$ \begin{bmatrix}\ddot{x}\\\ddot{y}\end{bmatrix}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\dot r}\\r\dot\theta\end{bmatrix}

$ =\begin{bmatrix}-\dot\theta\sin\theta&-\dot\theta\cos\theta\\\dot\theta\cos\theta&-\dot\theta\sin\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\dot r}\\r\dot\theta\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\ddot r}\\\dot r\dot\theta+r\ddot\theta\end{bmatrix}

$ =\begin{bmatrix}\dot\theta\cos\theta&-\dot\theta\sin\theta\\\dot\theta\sin\theta&\dot\theta\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-r\dot\theta\\\dot r\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\ddot r}\\\dot r\dot\theta+r\ddot\theta\end{bmatrix}

$ =\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\ddot r}-r\dot\theta^2\\2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta\end{bmatrix}

極座標系→正規直交座標系

$ r=\sqrt{x^2+y^2}

$ \theta={\rm atan2}(x,y)

$ \begin{bmatrix}{{\rm d}r}\\{\rm d}\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\-\frac{y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\end{bmatrix}

ごちゃごちゃしている

$ \begin{bmatrix}{{\rm d}r}\\{\rm d}\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\frac1r\sin\theta&\frac1r\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\end{bmatrix}

$ \begin{bmatrix}\bm e_r&\bm e_\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\bm e_x&\bm e_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{bmatrix}

$ \theta_?=\arctan\frac yx

$ \frac{{\rm d}\theta_?}{{\rm d}x}=\frac{-\frac{y}{x^2}}{1+(\frac yx)^2}=\frac{-y}{x^2+y^2}

$ \frac{{\rm d}\theta_?}{{\rm d}y}=\frac{\frac1x}{1+(\frac yx)^2}=\frac{x}{x^2+y^2}

円筒座標系

正規直交座標系→円筒座標系

$ x=r\cos\theta

$ y=r\sin\theta

$ z=h

$ \begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\\{\rm d}z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta&0\\\sin\theta&r\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{\rm d}r}\\{\rm d}\theta\\{\rm d}h\end{bmatrix}

$ \begin{bmatrix}\bm e_x&\bm e_y&\bm e_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\bm e_r&\bm e_\theta&\bm e_h\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta&0\\-\frac1r\sin\theta&\frac1r\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}

$ \begin{bmatrix}\dot{x}\\\dot{y}\\\dot{z}\end{bmatrix}=\frac1{{\rm d}t}\begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\\{\rm d}z\end{bmatrix}=\frac1{{\rm d}t}\begin{bmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta&0\\\sin\theta&r\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{{\rm d}r}\\{\rm d}\theta\\{\rm d}h\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{r}\\r\dot\theta\\\dot{h}\end{bmatrix}

$ \begin{bmatrix}\ddot{x}\\\ddot{y}\\\ddot{z}\end{bmatrix}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\dot r}\\r\dot\theta\\\dot{h}\end{bmatrix}

$ =\begin{bmatrix}-\dot\theta\sin\theta&-\dot\theta\cos\theta&0\\\dot\theta\cos\theta&-\dot\theta\sin\theta&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{r}\\r\dot\theta\\\dot{h}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\ddot r}\\\dot{r}\dot\theta+r\ddot\theta\\\ddot{h}\end{bmatrix}

$ =\begin{bmatrix}\dot\theta\cos\theta&-\dot\theta\sin\theta&0\\\dot\theta\sin\theta&\dot\theta\cos\theta&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{r}\dot\theta\\\dot{r}\\\dot{h}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\ddot r}\\\dot{r}\dot\theta+r\ddot\theta\\\ddot{h}\end{bmatrix}

$ =\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\ddot r}-r\dot\theta^2\\2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta\\\ddot{h}\end{bmatrix}

円筒座標系→正規直交座標系

$ r=\sqrt{x^2+y^2}

$ \theta={\rm atan2}(x,y)

$ h=z

$ \begin{bmatrix}{{\rm d}r}\\{\rm d}\theta\\{\rm d}h\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\-\frac{y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\\{\rm d}z\end{bmatrix}

ごちゃごちゃしている

$ \begin{bmatrix}{{\rm d}r}\\{\rm d}\theta\\{\rm d}h\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta&0\\-\frac1r\sin\theta&\frac1r\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\\{\rm d}z\end{bmatrix}

$ \begin{bmatrix}\bm e_x&\bm e_y&\bm e_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\bm e_r&\bm e_\theta&\bm e_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta&0\\-\frac1r\sin\theta&\frac1r\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}

球面座標系

https://gyazo.com/8506727e47dfa85687e7e666f6259830

正規直交座標系→球面座標系

$ x=r\sin\theta\cos\phi

$ y=r\sin\theta\sin\phi

$ z=r\cos\theta

$ \begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\\{\rm d}z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\\\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&r\sin\theta\cos\phi\\\cos\theta&-r\sin\theta&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\rm d}r\\{\rm d}\theta\\{\rm d}\phi\end{bmatrix}

$ \begin{bmatrix}\bm e_x&\bm e_y&\bm e_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\bm e_r&\bm e_\theta&\bm e_\phi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sin\theta\cos\phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\theta\\\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi&\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi&-\frac{1}{r}\sin\theta\\-\frac{\sin\phi}{r\sin\theta}&\frac{\cos\phi}{r\sin\theta}&0\end{bmatrix}

球面座標系→正規直交座標系

$ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

$ \theta={\rm acos2}(r,z)={\rm atan2}(z,\sqrt{x^2+y^2})

$ \phi={\rm atan2}(x,y)

$ \because x^2+y^2=(r\sin\theta\cos\phi)^2+(r\sin\theta\sin\phi)^2=r^2\sin^2\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=r^2\sin^2\theta

$ \begin{bmatrix}{\rm d}r\\{\rm d}\theta\\{\rm d}\phi\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{x}r&\frac{y}r&\frac{z}r\\\frac{z}{r^2}\frac{x}{r_{xy}}&\frac{z}{r^2}\frac{y}{r_{xy}}&-\frac{r_{xy}}{r^2}\\-\frac{y}{r_{xy}^2}&\frac{x}{r_{xy}^2}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\\{\rm d}z\end{bmatrix}

$ r_{xy}=\sqrt{x^2+y^2}=r\sin\theta

$ \theta_?=\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)

$ \frac{{\rm d}\theta_?}{{\rm d}z}=\frac{-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z^2}}{1+\left(\frac{x^2+y^2}{z^2}\right)}=-\frac{1}{r^2}\sqrt{x^2+y^2}

ごちゃごちゃしている。

$ \begin{bmatrix}{\rm d}r\\{\rm d}\theta\\{\rm d}\phi\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sin\theta\cos\phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\theta\\\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi&\frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi&-\frac{1}{r}\sin\theta\\-\frac{\sin\phi}{r\sin\theta}&\frac{\cos\phi}{r\sin\theta}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\\{\rm d}z\end{bmatrix}

$ \begin{bmatrix}\bm e_r&\bm e_\theta&\bm e_\phi\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\bm e_x&\bm e_y&\bm e_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\\\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&r\sin\theta\cos\phi\\\cos\theta&-r\sin\theta&0\end{bmatrix}

ガリレイ変換

$ \bm x'=\bm x-\bm vt

$ x'=x-v_xt

$ y'=y-v_yt

$ z'=z-v_zt

$ \begin{bmatrix}{\rm d}x'\\{\rm d}y'\\{\rm d}z'\\{\rm d}t'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&-v_x\\0&1&0&-v_y\\0&0&1&-v_z\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\rm d}x\\{\rm d}y\\{\rm d}z\\{\rm d}t\end{bmatrix}

平行移動を表すアフィン変換と同じ

ローレンツ変換

$ r=\|\bm x\|

$ v=\|\bm v\|

$ ={\rm d}t^2-\frac1{c^2}{\rm d}r^2

$ \bm x'=\gamma\cdot(\bm x-\bm v t)

$ x'=\gamma\cdot(x-v_xt)

$ y'=\gamma\cdot(y-v_yt)

$ z'=\gamma\cdot(z-v_zt)

$ t'=\gamma\cdot\left(t-\frac{v}{c^2}r\right)

$ \gamma=\frac1{\sqrt{1-\left(\frac vc\right)^2}}

$ 1-\left(\frac vc\right)^2=1-\tanh^2\theta=\frac1{\cosh^2\theta}

$ \gamma=\frac1{\sqrt{1-\left(\frac vc\right)^2}}=\cosh\theta

$ x'=x\cosh\theta-({v_x}/{v})ct\sinh\theta

$ y'=y\cosh\theta-({v_y}/{v})ct\sinh\theta

$ z'=z\cosh\theta-({v_z}/{v})ct\sinh\theta

$ ct'=ct\cosh\theta-r\sinh\theta

双曲線関数と三角関数の接続から

$ \cosh\theta=\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=\cos\frac\theta{i}=\cos i\theta

$ \sinh\theta=\frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}=i\sin\frac\theta{i}=-i\sin i\theta

$ \tanh\theta=\frac{\sinh\theta}{\cosh\theta}=i\tan\frac\theta{i}=-i\tan i\theta

$ x'=x\cos i\theta+({v_x}/{v})cit\sin i\theta

$ y'=y\cos i\theta+({v_y}/{v})cit\sin i\theta

$ z'=z\cos i\theta+({v_z}/{v})cit\sin i\theta

$ cit'=cit\cos i\theta-r\sin i\theta

ウィック回転

$ \bm x'=\bm x

$ t'=it

$ {\rm d}\bm x'={\rm d}\bm x

$ {\rm d}t'=i{\rm d}t

ウィック回転したローレンツ変換

$ r=\|\bm x\|

$ v=\|\bm v\|

$ ={\rm d}t^2-\frac1{c^2}{\rm d}r^2

$ ={\rm d}(\frac1it^\bull)^2-\frac1{c^2}{\rm d}r^2

$ =-{\rm d}t^{\bull2}-\frac1{c^2}{\rm d}r^2

$ \bm x'=\gamma\cdot(\bm x-\bm v t)=\gamma^\bull\cdot(\bm x-i\bm v^\bull\frac1it^\bull)=\gamma^\bull\cdot(\bm x-\bm v^\bull t^\bull)

$ x'=\gamma\cdot(x-v_xt)=\gamma^\bull\cdot(x-v_x^\bull t^\bull)

$ y'=\gamma\cdot(y-v_yt)=\gamma^\bull\cdot(y-v_y^\bull t^\bull)

$ z'=\gamma\cdot(z-v_zt)=\gamma^\bull\cdot(z-v_z^\bull t^\bull)

$ t'=\gamma\cdot\left(t{\color{red}-}\frac{v}{c^2}r\right)=\gamma^\bull\cdot\left(t-\frac{iv^\bull}{-c^{\bull2}}r\right)=\gamma^\bull\cdot\left(t+i\frac{v^\bull}{c^{\bull2}}r\right)

$ t^{\bull\prime}=\frac1it'=\frac1i\gamma^\bull\cdot\left(t+i\frac{v^\bull}{c^{\bull2}}r\right)=\gamma^\bull\cdot\left(\frac1it+\frac{v^\bull}{c^{\bull2}}r\right)=\gamma^\bull\cdot\left(t^\bull{\color{red}+}\frac{v^\bull}{c^{\bull2}}r\right)

$ \gamma=\frac1{\sqrt{1-\left(\frac vc\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{iv^\bull}{ic^\bull}\right)^2}}=\frac1{\sqrt{1-\left(\frac{v^\bull}{c^\bull}\right)^2}}=\gamma^\bull

$ 1-\left(\frac vc\right)^2=1-\tanh^2\theta=\frac1{\cosh^2\theta}

$ \gamma^\bull=\gamma=\frac1{\sqrt{1-\left(\frac vc\right)^2}}=\cosh\theta

$ =(iv_x^\bull/iv^\bull)ic^\bull\frac1it^\bull=(v_x^\bull/v^\bull)c^\bull t^\bull

$ x'=x\cosh\theta-({v_x}/{v})ct\sinh\theta=x\cosh\theta-(v_x^\bull/v^\bull)c^\bull t^\bull\sinh\theta

$ y'=y\cosh\theta-({v_y}/{v})ct\sinh\theta=y\cosh\theta-(v_y^\bull/v^\bull)c^\bull t^\bull\sinh\theta

$ z'=z\cosh\theta-({v_z}/{v})ct\sinh\theta=z\cosh\theta-(v_z^\bull/v^\bull)c^\bull t^\bull\sinh\theta

$ ct'=ct\cosh\theta-r\sinh\theta

$ c^\bull t^{\bull\prime}=c^\bull t^\bull\cosh\theta+r\sinh\theta

双曲線関数と三角関数の接続から

$ \cosh\theta=\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}=\cos\frac\theta{i}=\cos i\theta

$ \sinh\theta=\frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}=i\sin\frac\theta{i}=-i\sin i\theta

$ \tanh\theta=\frac{\sinh\theta}{\cosh\theta}=i\tan\frac\theta{i}=-i\tan i\theta

$ x'=x\cos i\theta+({v_x}/{v})cit\sin i\theta=x\cos i\theta+(v_x^\bull/v^\bull)c^\bull t^\bull i\sin i\theta

$ y'=y\cos i\theta+({v_y}/{v})cit\sin i\theta=y\cos i\theta+(v_y^\bull/v^\bull)c^\bull t^\bull i\sin i\theta

$ z'=z\cos i\theta+({v_z}/{v})cit\sin i\theta=z\cos i\theta+(v_z^\bull/v^\bull)c^\bull t^\bull i\sin i\theta

$ cit'=cit\cos i\theta-r\sin i\theta

$ c^\bull t^{\bull\prime}=c^\bull t^\bull\cos i\theta-ri\sin i\theta