含意と同値の論理演算子
条件文の命題を表すときにつかう
例：fooならばbarである
命題$ p,qがあるときに「$ p \ ならば \ q」を表すのなら
$ p \to q
真理値表は次のように「定義される」
table:p→q
p q p→q
T T T
T F F
F T T
F F T
https://gyazo.com/ec0afece42b277009ecd8e97b8275687
こういうことかな？cFQ2f7LRuLYP.icon
pならばqのとき
pがTでqがFの場合にp→qがFになるのはわかる
pがFの場合にp→qがいつでもTになるのが感覚的でない
信じられないものの、それがTになるということが重要な所
プログラマの数学p.44
十分に注意して読まなければならないのは、「Aがfalseの場合」すなわち真理値表の下の2行です。Aがfalseの場合、Bの真偽にかかわらずA=>Bはtrueになります。つまり、前提条件であるAがfalseであれば、Bの真偽によらず「AならばB」の値はtrueになるのです。
これが、論理における「ならば」の定義です。
ちなみにこれは$ \lnot p \lor qと等しいらしい
table:¬p∨q
p q ¬p ¬p∨q p→q
T T F T T
T F F F F
F T T T T
F F T T T
$ p\to q \iff\lnot p \lor q
命題$ p\to qに対し
$ p\to qの逆：$ q\to p
$ p\to qの裏：$ \lnot p\to \lnot q
$ p\to qの対偶：$ \lnot q\to \lnot p
対偶の真理値はもとの命題と論理同値
$ p\to q \iff\lnot p \lor qなので
$ \lnot q\to \lnot p \iff \lnot(\lnot q)\lor \lnot p
対合律$ \lnot\lnot p \iff pより $ \lnot(\lnot q)\lor \lnot p \iff q\lor \lnot p
交換律$ p\lor q\iff q\lor pより $ q\lor \lnot p \iff \lnot p \lor q
$ p\to q \iff\lnot p \lor qなので、
$ p\to q \iff \lnot q\to \lnot p
同値：$ \leftrightarrow
論理同値とは違うcFQ2f7LRuLYP.icon 「pが真ならqも真、pが偽ならqも偽」という場合を表す
https://gyazo.com/5a001851b250ede769cc58d917b412f5
table:p↔q
p q p↔q
T T T
T F F
F T F
F F T
$ (p\land q) \lor (\lnot p \land \lnot q)とも書けるかcFQ2f7LRuLYP.icon