単集合の普遍性

$ \frak1を単集合とする

中身はなんでもいい

このとき$ \forall X\exist!f:X\to\frak1

たとえば$ \frak1=\{1\}としたとき、$ \forall x\in X\exists!y\in\frak1.f(x)=yだが

$ \forall x\in X\exists!y\in\frak1.f(x)=y

$ \iff\forall x\in X.f(x)=1

つまり全部同じ元に写す写像しか作れない

一意性の証明：

$ \begin{dcases}\forall x\in X.f(x)&=1\\\forall x\in X.g(x)&=1\end{dcases}

$ \implies \forall x\in X.f(x)=1=g(x)

$ \underline{\iff f=g\quad}_\blacksquare

写像$ f:X\to Yは$ \forall x\in X\exist!y\in Y.f(x)=yを常に満たす

これより、$ \forall X\exist!f:X\to\frak1は$ X\xmapsto{\cal F}(f:X\to\frak 1)という写像$ \cal Fの存在を表していると解釈できる

$ \cal Fの定義域はごまかした

あえて言うなら「すべての集合をあつめた集まり」だが、集合論では表現できない