任意の圏からすべての射の類が1個以下しか射を持たない圏を作る
のりしろ
のとき、CからBを構成できるかどうか気になった
takker.icon
Cの圏を$ \bf C、Bの圏を$ \bf Bとする
以下のように$ \bf Bを構成すれば、$ \bf Bのの射の類は1個以下しか射を持たなくなるはずだった
$ {\rm ob}({\bf B})={\rm ob}({\bf C})
$ {\bf B}(A,B)=\begin{dcases}\{{\bf C}(A,B)\}&\text{if }{\bf C}(A,B)\neq\varnothing\\\varnothing&\text{otherwise}\end{dcases}
圏$ \bf Bの射$ f:A\to B,g:B\to Cにて$ f\circ g=
合成を定義するのがむずい。放棄takker.icon
これでどう？nishio.icon
Cの圏$ \bf Cが与えられたとする
Bの圏を定義する
対象
$ {\rm ob}({\bf B})={\rm ob}({\bf C})
射
$ {\bf B}(A,B)
ただし$ \#{\bf B}(A,B) = [{\bf C}(A,B)\neq\varnothing]
Iverson便利だからすきtakker.icon
中身の定義はどうしよう
$ {\bf C}(A,B)からなにか一つだけ射を取ってこれればいいんだけど……
取ってくる……選択……はっまさか選択公理！(多分違う) $ \mathscr A(B,C)\times\mathscr A(A,B)\ni (f,g)\xmapsto{\circ}f\circ g\in\mathscr A(A,C)
1:
$ f \in {\bf B}(X,Y),$ g \in {\bf B}(Y,Z) が存在するとき
$ f' \in {\bf C}(X,Y), $ g' \in {\bf C}(Y,Z)が存在する(Bの射の定義より)
2: この時Cの射の合成により射
$ f'\circ g'\in {\bf C}(X,Z)
が存在する。
よって$ {\bf C}(X,Z)\neq\varnothing
3: Bの射の定義より $ {\bf B}(X,Z)の要素がただ一つ存在する
これを$ f \circ gとする
よさげ！takker.icon
中身の定義はどうしようtakker.icon
中身を定義しなくても射の合成を定義できるnishio.icon
はい。なので射の合成はこれで問題なさそうですtakker.icon
圏は対象の集まり、射の類、射の合成の3つで構成されるので、射の類を定義できないとだめかなあと
$ \#{\bf B}(A,B) = [{\bf C}(A,B)\neq\varnothing] で十分なのか？うーん
十分定義できてると僕は思うけど、具体的中身が欲しいならタプル$ (A, B)でいいよnishio.icon 条件を十分満たすでしょ
全順序集合から(B)を構成するときにtakker.iconもタプル使ってたのに、ここでは思いつかなかったの笑う