ルート系
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サムネ
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ルート系の公理
ユークリッド空間上で、ある種の幾何的性質を満たす、ベクトルの集合
基底とは似ているが違う
格子構造の基になるものと考えるととりあえずイメージが湧く。
$ Vを有限次元ユークリッドベクトル空間とし、$ \lang\bull,\bull\rangを標準ユークリッド内積とする。
$ Vのルート系は非零ベクトルの有限集合$ \Phiであって、以下の条件を満たすもの。
1. 集合$ \Phiはベクトル空間$ Vを張る。
2. (被覆性): 任意の$ \bm xに対してその実数倍で$ \Phiに属するものは$ \pm\bm xのみ。
Iverson Bracketを用いて表せば、$ ^{\forall\bm x\in\Phi,k\in\R}\lbrack\lbrack k=\pm1\rbrack=\lbrack k\bm x\in\Phi\rbrack\rbrack 3. 任意の$ \bm x\in\Phiに対して、集合$ \Phiは$ \bm xに垂直な超平面を通る鏡映で閉じる。
$ ^{\forall\bm x,\bm y\in\Phi}\lbrack\bm y-2\frac{\lang\bm x,\bm y\rang}{\lang\bm x,\bm x\rang}\bm x\in\Phi\rbrack
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4. (結晶性): 任意の$ \bm x,\bm y\in\Phiに対して、$ \bm xを通る直線への$ \bm yの射影は$ \bm xの半整数倍である。
$ ^{\forall\bm x,\bm y\in\Phi}\left\lbrack2\frac{\lang\bm x,\bm y\rang}{\lang\bm x,\bm x\rang}\in\Z\right\rbrack
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ルート系の性質
1 により、$ \Phiの中から$ Vの基底を選べる事がわかる。
従って、ルート系の階数は$ {\rm rank}\Phi=\dim Vとなる。
4(結晶性) により、射影倍率の2倍は整数になる。
これはカルタン整数と呼ばれ、これを並べるとカルタン行列(後述)ができる。
$ c(\bm x,\bm y)=2\frac{\lang\bm x,\bm y\rang}{\lang\bm x,\bm x\rang}\in\Z
また、3の$ ^{\forall\bm x,\bm y\in\Phi}\lbrack\bm y-2\frac{\lang\bm x,\bm y\rang}{\lang\bm x,\bm x\rang}\bm x\in\Phi\rbrackはカルタン整数を用いて
$ ^{\forall\bm x,\bm y\in\Phi}\lbrack\bm y-c(\bm x,\bm y)\bm x\in\Phi\rbrackと書ける。
2つのルート系$ (K^m,\Phi_1)と$ (K^n,\Phi_2)が同型(isomorphic)であるとは、
同型写像$ f:K^m\to K^nが存在することを言う。
$ f(\Phi_1)=\Phi_2
$ f^{-1}(\Phi_2)=\Phi_1
$ \frac{\lang\alpha,\beta\rang}{\lang\alpha,\alpha\rang}=\frac{\lang f(\alpha),f(\beta)\rang}{\lang f(\alpha),f(\alpha)\rang}
$ \Phiが$ Vのルート系で、$ U\sub Vが$ \Psi=\Phi\cap Uで張られるときはいつでも$ \Psiは$ Uのルート系である。
ルートの制限
4. 射影倍率の半整数性(結晶性)から、2つのルート$ \alpha,\beta\in\Phi間の関係が極めて限定される。
$ \alpha,\betaのなす角を求めよう。
$ ^{\forall\alpha,\beta\in\Phi}\left\lbrack 2\frac{\lang\alpha,\beta\rang}{\lang{\color{red}\alpha},{\color{red}\alpha}\rang}\in\Z\right\rbrackより、$ \alphaと$ \betaを取り替えてもこの式が成立する。
$ \therefore 2\frac{\lang\alpha,\beta\rang}{\lang{\color{red}\beta},{\color{red}\beta}\rang}\in\Z
ここから、なす角の余弦が求められる。
$ \cos\theta=\frac{\lang\alpha,\beta\rang}{\|\alpha\|\|\beta\|}より
$ (2\cos\theta)^2=\frac{\lang\alpha,\beta\rang}{\lang\alpha,\alpha\rang}\cdot\frac{\lang\alpha,\beta\rang}{\lang\beta,\beta\rang}\in\Z
$ -1\le\cos\theta\le 1より
$ 0\le(2\cos\theta)^2\le4
$ (2\cos\theta)^2=0,1,2,3,4
$ \therefore\cos\theta=0,\pm\frac12,\pm\frac1{\sqrt2},\pm\frac{\sqrt 3}{2},\pm1
この角度から結晶構造が見えてくる。
$ \alpha,\betaが独立であるようにすると、$ \cos\theta\ne0,\pm1から
$ \cos\theta=\pm\frac12,\pm\frac1{\sqrt2},\pm\frac{\sqrt3}{2}
次に、それぞれの角度に対する$ \alpha,\betaを求めよう。
互いの射影が互いの半整数倍の伸縮にならなければならないため、$ \alpha,\betaの長さの比も限定される。
これは計算するよりもそれぞれの場合について図を描くことで簡単に求められる。
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それぞれに対するカルタン整数も求められる。
カルタン整数は$ c(\bm x,\bm y)=2\frac{\lang\bm x,\bm y\rang}{\lang\bm x,\bm x\rang}
基準となるベクトルを$ \iota、長さが$ 1,\sqrt2,\sqrt3のベクトルを$ \alpha,\beta,\gammaとすると、
$ c(\iota,\alpha)=\pm1、$ c(\alpha,\iota)=\pm1
$ c(\iota,\beta)=\pm1、$ c(\beta,\iota)=\pm2
$ c(\iota,\gamma)=\pm3、$ c(\gamma,\iota)~\pm1
なお$ c(\bm x,\bm x)=2である。
これにより、次元を指定されれば、ルート系を全て列挙できるようになった。
整数座標
更に、ルートの長さの成す比率が平方根になっているため、ルート系を整数ベクトルで表せる。
$ \alpha=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}、$ \beta=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
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$ \alpha=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}、$ \beta=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}
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$ \alpha=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}、$ \beta=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}
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$ \alpha=\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}、$ \beta=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}
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階数2のルート系
鏡像変換$ {\rm mir}_{\bot\alpha}(\beta)を導入する。
$ {\rm mir}_{\bot\alpha}(\beta)=\beta-2\frac{\lang\alpha,\beta\rang}{\lang\alpha,\alpha\rang}\alpha=\beta-c(\alpha,\beta)\alpha
階数2のルート系を列挙する
$ A_1\times A_1
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$ D_2
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$ D_2=A_1\times A_1だが、後で区別して使うため別の名前をつけておく
$ A_2
https://gyazo.com/aee69d63654b1cc07a0e07de956b7361
$ B_2
https://gyazo.com/b306ec8e9cd6670c4b496d05ab49983c
$ C_2
https://gyazo.com/27f500cb6fc5fbcf6ad69a3a86653e8a
$ C_2=B_2だが、後で区別して使うため別の名前をつけておく。
$ G_2
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$ \alpha,\betaが$ \frac56\piの角を成す時、
$ \Phi=\{\alpha,-\alpha,\beta,-\beta,{\rm mir}_{\bot\alpha}(\beta),-{\rm mir}_{\bot\alpha}(\beta),{\rm mir}_{\bot\beta}(\alpha),-{\rm mir}_{\bot\beta}(\alpha),
$ {\rm mir}_{\bot{\rm mir}_{\bot\alpha}(\beta)}(\beta),-{\rm mir}_{\bot{\rm mir}_{\bot\alpha}(\beta)}(\beta),
$ {\rm mir}_{\bot{\rm mir}_{\bot\beta}(\alpha)}(\alpha),-{\rm mir}_{\bot{\rm mir}_{\bot\beta}(\alpha)}(\alpha)\}
2つのルート系$ \Phi_1\in K^m,\Phi_2\in K^nは繋げられる。
繋げたルート系$ \Phi_1\times\Phi_2\in K^{m\times n}は、それらが張るユークリッド空間$ K^mと$ K^nが共通のユークリッド空間$ K^{m\times n}の互いに直交する部分空間となる。
このような結合からは生じないルート系は既約(irreducible)と言われる。
上の例では
$ A_1\times A_1、$ D_2は既約ではない。
$ A_2、$ B_2、$ C_2、$ G_2は既約。
既約を別の言い方で言うと、2つのルート系$ \Phi_1,\Phi_2の真の部分集合の和集合$ \Phi_1\cup\Phi_2であって、
全ての$ \alpha\in\Phi_1と$ \beta\in\Phi_2に対して$ \lang\alpha,\beta\rang=0となるようなものに分割できないものである。
ルート系の分割
ルート系$ \Phiを正ルート$ \Phi^+と負ルート$ -\Phi^+に分けられる。
任意の$ \alpha\in\Phiに対して、$ \alphaと$ -\alphaのうち一方が$ \Phi^+に入り、もう一方が$ -\Phi^+に入る。
任意の$ \alpha,\beta\in\Phi^+について、$ \alpha+\beta\in\Phi\quad\Rightarrow\quad\alpha+\beta\in\Phi^+
この分け方自体は複数通りある。
更に、正ルート$ \Phi^+の中に単純ルートの集合$ \Deltaを見いだせる。
$ \Delta\sub\Phi^+の元は$ \Phi^+の2つの元の和で書けない。
$ \Phi^+全体は$ \Deltaの元の非負係数線形結合で表せる物全体になる。
この線形結合は一意である
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カルタン行列
射影倍率の2倍はカルタン整数と呼ばれ、これを並べるとカルタン行列ができる。
$ C=\left\lbrack2\frac{\lang\bm x_i,\bm x_j\rang}{\lang\bm x_i,\bm x_i\rang}\right\rbrack_{i,j}
$ \bm x_i,\bm x_j\in\Delta
カルタン行列は
1. 対角要素が$ c_{ii}=2である
2. 非対角要素が負$ c_{ij}\le0\quad(i\ne j)である。
更に、2つのルートに対する考察から$ c_{ij}=0,-1,-2,-3のみ値として取りうることがわかる。
3. 対角行列と対称行列の積に分解できる。
$ C=DS
4. $ c_{ij}=0\quad\Leftrightarrow\quad c_{ji}=0
$ \because1,3より
5. $ D,Sは正定値。$ \bm x^\top S\bm x>0
$ Sの対角成分は非負になるため(半)負定値にはなり得ない。
$ Sが半正定値の場合はアフィン型のルート系を得る。これはルート系の拡張になる。
$ Sが不定置の場合については殆どわかっていない。
$ Sの正定値性を仮定しないカルタン行列を一般化カルタン行列と呼ぶ。
カルタン行列のグラム行列分解
カルタン行列$ C=\left\lbrack2\frac{\lang\bm x_i,\bm x_j\rang}{\lang\bm x_i,\bm x_i\rang}\right\rbrack_{i,j}を対角行列$ Dと対称行列$ Sの積に分解する際に、$ Sをグラム行列(内積を集めた行列)にできる。
$ C=\begin{bmatrix}2\frac{\lang\bm x_1,\bm x_1\rang}{\lang\bm x_1,\bm x_1\rang}&\cdots&2\frac{\lang\bm x_1,\bm x_n\rang}{\lang\bm x_1,\bm x_1\rang}\\\vdots&\ddots&\vdots\\2\frac{\lang\bm x_n,\bm x_1\rang}{\lang\bm x_n,\bm x_n\rang}&\cdots&2\frac{\lang\bm x_n,\bm x_n\rang}{\lang\bm x_n,\bm x_n\rang}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac2{\lang\bm x_1,\bm x_1\rang}&\cdots&O\\\vdots&\ddots&\vdots\\O&\cdots&\frac2{\lang\bm x_n,\bm x_n\rang}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lang\bm x_1,\bm x_1\rang&\cdots&\lang\bm x_1,\bm x_n\rang\\\vdots&\ddots&\vdots\\\lang\bm x_n,\bm x_1\rang&\cdots&\lang\bm x_n,\bm x_n\rang\end{bmatrix}
$ ={\rm diag}\begin{pmatrix}\frac2{\lang\bm x_1,\bm x_1\rang}&\cdots&\frac2{\lang\bm x_n,\bm x_n\rang}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\bm x_1^\top\\\vdots\\\bm x_n^\top\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\bm x_1&\cdots&\bm x_n\end{bmatrix}
ここからカルタン行列と各ベクトルの長さが既知のとき、グラム行列からルート系を復元できることがわかる。
階数2のルート系のカルタン行列
$ A_1\times A_1
$ \begin{bmatrix}c_{\alpha\alpha}&c_{\alpha\beta}\\c_{\beta\alpha}&c_{\beta\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}
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$ D_2
$ \begin{bmatrix}c_{\alpha\alpha}&c_{\alpha\beta}\\c_{\beta\alpha}&c_{\beta\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}
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$ A_2
$ \begin{bmatrix}c_{\alpha\alpha}&c_{\alpha\beta}\\c_{\beta\alpha}&c_{\beta\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}
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$ B_2
$ \begin{bmatrix}c_{\alpha\alpha}&c_{\alpha\beta}\\c_{\beta\alpha}&c_{\beta\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-2\\-1&2\end{bmatrix}
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$ C_2
$ \begin{bmatrix}c_{\alpha\alpha}&c_{\alpha\beta}\\c_{\beta\alpha}&c_{\beta\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-1\\-2&2\end{bmatrix}
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$ G_2
$ \begin{bmatrix}c_{\alpha\alpha}&c_{\alpha\beta}\\c_{\beta\alpha}&c_{\beta\beta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}
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ディンキン図形
ルート系$ \Phiから単純ルートの集合$ \Deltaを選ぶ。
単純ルートに対応付けた頂点をディンキン図形に描く。
単純ルートの直交しない各対の間に辺を描く。
なす角度が$ 2\pi/3のときは、無向一重辺であり、
なす角度が$ 3\pi/4のときは、有向二重辺であり、
なす角度が$ 5\pi/6のときは、有向三重辺である。
短い方の単純ルートを指す記号をつけるため有向辺になる。
与えられたルート系$ \Phiの単純ルートの集合$ \Deltaは複数通り選びうるが、ディンキン図形は単純ルートの選び方によらず、ルート系自身によって決定される。
このため、ルート系の分類は可能なディンキン図形の分類問題に帰着する。
ルート系が既約であることと、そのディンキン図形が連結であることは同値である。
階数2のルート系のディンキン図形
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階数3のルート系
階数3のルート系について考えよう。
階数2のルート系に垂直なルートを追加すると既約ではないルート系を得る。
$ A_1\times G_2
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既約なルート系について考えよう。
追加される単純ルート$ \gammaと古い単純ルート$ \alpha,\betaの関係から、
階数2のルート系に応じて追加可能な単純ルート$ \gammaが制限される。
特に単純ルート同士の長さの比は$ 1:1、$ 1:\sqrt2、$ 1:\sqrt3になる。
このため、既に単純ルート同士の長さの比が$ 1:\sqrt2になっている$ B_2,C_2を拡張すると$ 1:\sqrt2:1、$ 1:\sqrt3になっている$ G_2を拡張すると$ 1:\sqrt3:1になる。
更に、これにより$ 1:1の単純ルートを持つ$ A_2,D_2に$ \sqrt2や$ \sqrt3の単純ルートを追加すると、
$ 1:1:\sqrt2や$ 1:1:\sqrt3になる。
すなわち、$ B_2,C_2,G_2に長さ$ 1の単純ルートを追加したものと同じになる。
以上より、$ \sqrt2や$ \sqrt3の単純ルートを追加することは考えなくとも良い。
すなわち、長さ$ 1の単純ルートを追加することだけを考えれば良い。
更に、$ \alpha\cancel\bot\gammaかつ$ \beta\cancel\bot\gammaと仮定すると、$ \gamma=1であることと、ルート系の制約から、
$ \alphaと$ \gammaのなす角は$ (1/3)\piや$ (2/3)\piでなければならない。
場合分け
$ \beta=\sqrt2のとき($ B_2,C_2)は$ \betaと$ \gammaのなす角が$ (1/4)\piや$ (3/4)\piでなければならない。
これは直角ができるので、単純ルートを選び直すことで、$ \alpha\bot\gammaにできる。
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$ \beta=1のとき($ A_2)は$ \betaと$ \gammaのなす角が$ (1/3)\piや$ (2/3)\piでなければならない。
これは面心立方格子として実現可能だが、ルートに直角が含まれるため、単純ルートを選び直すことで、$ \alpha\bot\gammaにできる。
これは$ A_1\times A_1=D_2に直角を成さない単純ルートを追加する操作と同じになる。
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$ \beta=\sqrt3のとき($ G_2)は$ \betaと$ \gammaのなす角が$ (1/6)\piや$ (5/6)\piでなければならない。
面心立方格子の考察から新しいルートベクトルを以下のように設定できるが、これは古いルート系と垂直になるため、$ G_2を拡張して既約なルート系は得られない。
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カルタン行列によるルート系の拡張
2階のルート系のカルタン行列は以下の通り。
$ C(A_2)=\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}$ C(B_2)=\begin{bmatrix}2&-2\\-1&2\end{bmatrix}$ C(C_2)=\begin{bmatrix}2&-1\\-2&2\end{bmatrix}$ C(D_2)=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}$ C(G_2)=\begin{bmatrix}2&3\\-2&2\end{bmatrix}
3階のルート系を調べる際には
1. これに事前に定理で求めた取りうる値を追加し、
2. グラム行列に分解して
3. グラム行列から既約ルート系を取り出せるのか調べることで、そのような形の既約ルート系が存在するか調べられる。
ちょっとカンニング
$ \begin{bmatrix}2\frac{\lang r_1,r_1\rang}{\lang r_1,r_1\rang}&\cdots&2\frac{\lang r_1,r_n\rang}{\lang r_1,r_1\rang}\\\vdots&\ddots&\vdots\\2\frac{\lang r_n,r_1\rang}{\lang r_n,r_n\rang}&\cdots&2\frac{\lang r_n,r_n\rang}{\lang r_n,r_n\rang}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac2{\lang r_1,r_1\rang}&\cdots&O\\\vdots&\ddots&\vdots\\O&\cdots&\frac2{\lang r_n,r_n\rang}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lang r_1,r_1\rang&\cdots&\lang r_1,r_n\rang\\\vdots&\ddots&\vdots\\\lang r_n,r_1\rang&\cdots&\lang r_n,r_n\rang\end{bmatrix}=D\begin{bmatrix}r_1^\top\\\vdots\\r_n^\top\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r_1&\cdots&r_n\end{bmatrix}
$ G_2=\begin{bmatrix}2&\text-3\\\text-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&\frac13\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\\0&-1\end{bmatrix}
$ A_4=\begin{bmatrix}2&\text-1&0&0\\\text-1&2&\text-1&0\\0&\text-1&2&\text-1\\0&0&\text-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\text-1&0&0&0\\0&1&\text-1&0&0\\0&0&1&\text-1&0\\0&0&0&1&\text-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\text-1&1&0&0\\0&\text-1&1&0\\0&0&\text-1&1\\0&0&0&\text-1\end{bmatrix}
$ B_4=\begin{bmatrix}2&\text-1&0&0\\\text-1&2&\text-1&0\\0&\text-1&2&\text-1\\0&0&\text-2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\text-1&0&0\\0&1&\text-1&0\\0&0&1&\text-1\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\text-1&1&0&0\\0&\text-1&1&0\\0&0&\text-1&1\end{bmatrix}
$ C_4=\begin{bmatrix}2&\text-1&0&0\\\text-1&2&\text-1&0\\0&\text-1&2&\text-2\\0&0&\text-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&\frac12\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\text-1&0&0\\0&1&\text-1&0\\0&0&1&\text-1\\0&0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\text-1&1&0&0\\0&\text-1&1&0\\0&0&\text-1&2\end{bmatrix}
$ D_4=\begin{bmatrix}2&\text-1&0&0\\\text-1&2&\text-1&\text-1\\0&\text-1&2&0\\0&\text-1&0&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\text-1&0&0\\0&1&\text-1&0\\0&0&1&\text-1\\0&0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\text-1&1&0&0\\0&\text-1&1&1\\0&0&\text-1&1\end{bmatrix}
$ F_4=\begin{bmatrix}2&\text-1&0&0\\\text-1&2&\text-1&0\\0&\text-1&2&\frac{\text-1}2\\0&0&\text-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\text-1&0&0\\0&1&\text-1&0\\0&0&1&0\\\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac12\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&\frac{\text-1}2\\\text-1&1&0&\frac{\text-1}2\\0&\text-1&1&\frac{\text-1}2\\0&0&0&\frac{\text-1}2\end{bmatrix}
$ E_{8(偶)}=\begin{bmatrix}2&\text-1&0&0&0&0&0&0\\\text-1&2&\text-1&0&0&0&0&0\\0&\text-1&2&\text-1&0&0&0&0\\0&0&\text-1&2&\text-1&0&0&0\\0&0&0&\text-1&2&\text-1&\text-1&0\\0&0&0&0&\text-1&2&0&0\\0&0&0&0&\text-1&0&2&\text-1\\0&0&0&0&0&0&\text-1&2\end{bmatrix}
$ =\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\text-1&0&0&0&0&0&0\\0&1&\text-1&0&0&0&0&0\\0&0&1&\text-1&0&0&0&0\\0&0&0&1&\text-1&0&0&0\\0&0&0&0&1&\text-1&0&0\\0&0&0&0&0&1&\text-1&0\\0&0&0&0&0&{\color{blue}1}&1&{\color{blue}0}\\\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&\frac{\text-1}2\\\text-1&1&0&0&0&0&0&\frac{\text-1}2\\0&\text-1&1&0&0&0&0&\frac{\text-1}2\\0&0&\text-1&1&0&0&0&\frac{\text-1}2\\0&0&0&\text-1&1&0&0&\frac{\text-1}2\\0&0&0&0&\text-1&1&{\color{blue}1}&\frac{\text-1}2\\0&0&0&0&0&\text-1&1&\frac{\text-1}2\\0&0&0&0&0&0&{\color{blue}0}&\frac{\text-1}2\end{bmatrix}
$ E_{8(奇)}=\begin{bmatrix}2&\text-1&0&0&0&0&0&0\\\text-1&2&\text-1&0&0&0&0&0\\0&\text-1&2&\text-1&0&0&0&0\\0&0&\text-1&2&\text-1&0&0&0\\0&0&0&\text-1&2&\text-1&0&\text-1\\0&0&0&0&\text-1&2&\text-1&0\\0&0&0&0&0&\text-1&2&0\\0&0&0&0&\text-1&0&0&2\end{bmatrix}
$ =\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\text-1&0&0&0&0&0&0\\0&1&\text-1&0&0&0&0&0\\0&0&1&\text-1&0&0&0&0\\0&0&0&1&\text-1&0&0&0\\0&0&0&0&1&\text-1&0&0\\0&0&0&0&0&1&\text-1&0\\0&0&0&0&0&0&1&\text-1\\\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&\frac{\text-1}2&{\color{blue}\frac12}&{\color{blue}\frac12}&{\color{blue}\frac12}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&\frac{\text-1}2\\\text-1&1&0&0&0&0&0&\frac{\text-1}2\\0&\text-1&1&0&0&0&0&\frac{\text-1}2\\0&0&\text-1&1&0&0&0&\frac{\text-1}2\\0&0&0&\text-1&1&0&0&\frac{\text-1}2\\0&0&0&0&\text-1&1&0&{\color{blue}\frac12}\\0&0&0&0&0&\text-1&1&{\color{blue}\frac12}\\0&0&0&0&0&0&\text-1&{\color{blue}\frac12}\end{bmatrix}
ディンキン図形の制限
3階の既約なルート系の考察から、ディンキン図形をサイクルができる形で拡張できないことがわかる。
逆にディンキン図形を拡張する際に特定のルートを無視して考えて、後からその無視したルートと新しいルートが直角を成すようにすれば良いことがわかる。
https://gyazo.com/2d819f7c3303f84fa50630704646ee0b
図形を延長していくと以下のディンキン図形ができる
https://gyazo.com/384e8f25b95cd3b1b32b077c7cd41ee5
↑これは一般的に知られた既約ルート系のディンキン図形
次に素朴に「これもあるのではないか？」という図を見てみよう。
https://gyazo.com/d67d3265b474a8dee920392d41010e3b
https://gyazo.com/ccbbdd3861ab60ee10769bbb3d9ee629
$ G_3を構成できないことは先に3階のルート系について考える際に示した。
以下のものを構成できないことを示せれば、可能な既約ルート系は先に示したものに限られることが示せる。
https://gyazo.com/70c104b367f5018d2222e61da28009f7https://gyazo.com/29c4fa2a4144a2b5bf10c8a0d6db4964
https://gyazo.com/947e7863b9240985abe4a193f83d1168https://gyazo.com/c2bfdfe7467bce7706df80515dc913e4
https://gyazo.com/f59bf8aa2373bcb0aff8f83f2baa998d
なお、$ X,Y,E_\thetaは見た目で名付けている。$ E_\thetaはエタン(Ethane)。
ワイル群
ルート系$ \Phiのルートに直交する超平面による鏡映によって生成される$ V\ni \Phiの等長変換の群$ Wを$ \Phiのワイル群と呼ぶ。
$ W=\lang{\rm mir}_{\bot\alpha}|\alpha\in\Phi\rang
ワイル群は有限群である。
ワイル群は有限集合$ \Phiに忠実に作用する。
群$ Wの$ \Phiへの作用が、忠実 (faithful) あるいは効果的 (effective) であるとは、$ W の相異なるどのような二元 $ w_1, w_2 に対しても $ \phi\in\Phi を適当に選べば $ w_1\phi\ne w_2\phi となるようにできるときにいう。
これは $ w_1 ≠ e_W なる $ W の各元に対して $ \phi\in\Phi で $ w_1\phi\ne\phi となるものが存在するといっても同じことである。
これは直観的には、$ W の異なる元が $ \Phi の異なる置換を引き起こすということを言っている。
ルート格子
ルート系$ \Phiのルート格子(root lattice)は、$ \Phiで生成される$ V\ni \Phiの部分$ \Z加群である。
$ Vの格子でもある。
リー理論とその周辺分野において、局所コンパクト位相群における格子(lattice)は、
離散部分群であって、それによる商位相空間が有限な不変測度を持つようなものをいう。
局所コンパクト群$ \R^nの場合を考えると、通常の幾何学的な概念としての格子が得られる。
初等幾何学及び群論に置ける$ \R^n内の格子(lattice)は、$ \R^nを生成するような$ \R^nの離散部分群を言う。
$ \R^nの任意の格子はベクトル空間としての基底$ B\sub\R^nからその整数係数線形結合の全体として得られる。