ヒルベルト空間問題演習
普通の内積空間ではなく完備内積空間、すなわちヒルベルト空間について考えよう
測度論
関数もベクトル
問題: (関数もベクトル): 体$ Kを終域にとる関数$ f:\bull\to K全体はベクトル空間を成すか？
問題: (実関数の内積): 実数体$ Kを終域にとる関数$ f,g:X\to Kに関する以下の演算は内積を成すか？
$ \phi(f,g)=\sum_{x\in X} f(x)g(x)
問題: (複素関数の内積): 複素数体$ Kを終域にとる関数$ f,g:X\to Kに関する以下の演算は内積を成すか？
$ \phi(f,g)=\sum_{x\in X} \overline{f(x)} g(x)
問題: (可積分関数の内積): 実数体$ Kを終域にとる（可積分）関数$ f,g:X\to Kに関する以下の演算は内積を成すか？
$ \phi(f,g)=\int_{x\in X} f(x)g(x)
問題: (可積分関数の内積): 複素数体$ Kを終域にとる（可積分）関数$ f,g:X\to Kに関する以下の演算は内積を成すか？
$ \phi(f,g)=\int_{x\in X} \overline{f(x)}g(x)
問題: (一般内積): 一般的な内積を以下の式で定義する時、関数$ Gに求められる性質は何か？
$ \lang f,g\rang_{(x,y),G}=\sum_{(x,y)\in X\times Y}\overline{f(x)}G(x,y)g(y)
$ \lang f,g\rang_{(x,y),G}=\int_{(x,y)\in X\times Y}\overline{f(x)}G(x,y)g(y)
(単純な内積): 話を簡単にするため今後は$ G(x,y)=\lbrack x=y\rbrackの場合の内積$ \lang f,g\rang_xについて考える。
問題: (内積計算1): 実三角関数について以下の内積を求めよ。
(cos-cos): $ \lang\cos(\omega x),\cos(\phi x)\rang_{x}
(cos-sin): $ \lang\cos(\omega x),\sin(\phi x)\rang_x
(sin-sin): $ \lang\sin(\omega x),\sin(\phi x)\rang_x
問題: (内積計算2): 複素指数関数について内積$ \lang e^{i\omega x},e^{i\phi x}\rang_xを求めよ。
問題: (関数空間の正規直交基底): 実関数の正規直交基底と複素関数の正規直交基底を構成せよ。
問題: (関数空間の次元): 関数$ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left\{\left(\frac{x-\mu}{\sigma^2}\right)^2\right\}の基底表示$ \sum_{\omega=1}^n c(\omega)e^{i\omega x}について$ nを求めよ。
問題: (双対基底): $ x\in\Zとする。関数$ f(x)=\sum_{\omega=1}^n (a(\omega)\cos(\omega x)+b(\omega)\sin(\omega x))について、内積$ \lang\cos(-\omega x),f\rang_xと$ \lang\sin(-\omega x),f\rang_xを求めよ。
問題: (双対基底): $ x\in\Rとする。関数$ f(x)=\sum_{\omega=1}^n (a(\omega)\cos(\omega x)+b(\omega)\sin(\omega x))について、内積$ \lang\cos(-\omega x),f\rang_xと$ \lang\sin(-\omega x),f\rang_xを求めよ。
問題: (双対基底): $ x\in\Zとする。関数$ f(x)=\int_{\omega\in\R} (a(\omega)\cos(\omega x)+b(\omega)\sin(\omega x))について、内積$ \lang\cos(-\omega x),f\rang_xと$ \lang\sin(-\omega x),f\rang_xを求めよ。
問題: (双対基底): $ x\in\Rとする。関数$ f(x)=\int_{\omega\in\R} (a(\omega)\cos(\omega x)+b(\omega)\sin(\omega x))について、内積$ \lang\cos(-\omega x),f\rang_xと$ \lang\sin(-\omega x),f\rang_xを求めよ。
問題: (双対基底): $ x\in\{a+bi|a,b\in\Z\}とする。関数$ f(x)=\sum_{\omega=1}^n c(\omega)e^{i\omega x}について、内積$ \lang e^{-i\omega x},f\rang_xを求めよ。
問題: (双対基底): $ x\in\mathbb Cとする。関数$ f(x)=\sum_{\omega=1}^n c(\omega)e^{i\omega x}について、内積$ \lang e^{-i\omega x},f\rang_xを求めよ。
問題: (双対基底): $ x\in\{a+bi|a,b\in\Z\}とする。関数$ f(x)=\int_{\omega\in\mathbb C} c(\omega)e^{i\omega x}について、内積$ \lang e^{-i\omega x},f\rang_xを求めよ。
問題: (双対基底): $ x\in\mathbb Cとする。関数$ f(x)=\int_{\omega\in\mathbb C} c(\omega)e^{i\omega x}について、内積$ \lang e^{-i\omega x},f\rang_xを求めよ。
(フーリエ級数・変換): 正弦波基底の係数を取り出す重み付き総和演算をフーリエ級数やフーリエ変換と呼ぶ。
フーリエ変換後の関数は$ \omegaの関数になり、$ \mathcal F\{f\}(\omega)=\lang f,e^{-i\omega t}\rang_tのように花文字$ \mathcal F(Fourier の F) を用いて表す。
角周波数に相当する$ \omegaを周波数に相当する$ fを利用して$ 2\pi fと書いたり、基底の大きさを$ 1,\frac1{\sqrt{T}},\frac1 Tのいずれかにしたりと流儀が豊富にある。
基底の大きさに合わせて変換の際にかける係数が異なる。$ \frac1{\sqrt T}を採用すると、式に対称性が生まれる。
さらに、(角)周波数に相当する変数が連続値の場合と離散値の場合、時間に相当する変数が連続値の場合と離散値の場合のそれぞれについて異なる名前で呼ばれる。
問題: (畳み込み): 関数$ f(t)を反転させて$ -\tauだけずらした関数$ f(\tau-t)と関数$ g(t)の内積$ f*g=\lang f(\tau-t),g(t)\rang_tを求めよ。
(合成積): 畳み込みは合成積とも呼ばれる。
問題: (相互相関): 関数$ f(t)を$ -\tauだけずらした関数$ f(\tau+t)と関数$ g(t)の内積$ f\star g=\lang f(\tau+t),g(t)\rang_tを求めよ
問題: (畳み込みのフーリエ変換): 畳み込みの基底$ \lang f* g,e^{-i\omega t}\rang_tを求めよ。また、$ \mathcal F\{f*g\}=F\{f\}\mathcal F\{g\}を成すか？
問題: (解析信号): 実数値関数$ f:\R\to\Rをコーシー・リーマンの方程式を満たすように複素関数$ f(x)+i\tilde f(x)として拡張する(解析接続する)ことを考える。この関数についてのコーシー・リーマンの方程式を立式せよ。
問題: (ヒルベルト変換): 畳み込み$ \frac1{\pi x}*f(x)は$ f(x)の虚部$ \tilde f(x)になるか？
選択公理
集合の濃度