コンパクトな台を持つ滑らかな関数の存在証明

$ \phi_1(x)=\left\{\begin{matrix}\exp\left({-\frac{1}{1-x^2}}\right)\quad(|x|<1)\\0\quad(|x|\ge1)\end{matrix}\right.

連続性を示そう。$ x^2=|x|^2なので、

$ \lim_{\delta\to+0}\exp\left(-\frac1{1-(1-\delta)^2}\right)=\lim_{\delta\to+0}\exp\left(\frac{-1}{2\delta-\delta^2}\right)=0

これで$ |x|\ge1の場合と接続された。

微分可能性を示そう。

$ \phi_1'(x)=0'=0\qquad(|x|>1+0)

$ \phi_1'(x)=-\frac{2x}{(1-x^2)^2}\exp\left(-\frac1{1-x^2}\right)\qquad(|x|<1-0)

$ =-\frac{2x}{(1-x^2)^2}\phi(x)

$ p_1(x)\phi(x)

$ \lim_{x\to1-0}\phi'_1(x)=0

$ \phi(x)は指数関数なので、左の有理関数よりも速く収束する。

これで$ |x|=1の場合に接続された。

$ C^\infty級であることを示そう。

有理関数$ p_k(x)を利用して、$ \phi_1^{(k)}(x)=p_k(x)\phi_1(x)とかけると仮定すると、

$ \phi_1^{(k+1)}(x)=p_k'(x)\phi(x)+p_k(x)p_1(x)\phi_1(x)

$ =\left\{p_k'(x)+p_k(x)p_1(x)\right\}\phi_1(x)

有理関数$ p_k(x)と有理関数$ p_1(x)の積$ p_k(x)p_1(x)は有理関数

$ p_kが有理関数→$ p_k'も有理関数

有理関数$ p_k'(x)と有理関数$ p_k(x)p_1(x)の和$ p_k'(x)+p_k(x)p_1(x)は有理関数

$ =p_{k+1}\phi_1(x)

したがって$ |x|\to1-0の場合に$ \phi(x)の方が速く収束するので、

$ \lim_{|x|\to1-0}\phi_1^{(k+1)}(x)=0

よって、$ |x|\to1+0の場合と接続される。