ケプラーの法則

第1法則（楕円軌道の法則）

$ r=\frac{p}{1+\varepsilon\cos\theta}=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}

第2法則（面積速度一定の法則）

https://gyazo.com/d6ed648d1a9f2e0bdce0290b71192d3c

第3法則（調和の法則）

$ a^3\propto T^2

面積速度一定の法則の式を求める

面積速度が一定なので、

$ 0=\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}S = \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac12r^2\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}\right)

$ =r\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}+\frac12r^2\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}\theta

面積速度を定数で置くと、

$ C=\frac{{\rm d}S}{{\rm d}t}=\frac12r^2\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}

$ \therefore\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}=\frac{2C}{r^2}