オイラーの公式を導くための演習問題集

数学の歴史を辿る旅にする予定

量が多いのでここで解かずに別ページを作って解いて下さい。

図形

作図

(前提) 作図は曲がっていない場所で行う。

(直線) 2点を結ぶ線のうち、2点を結ぶ条件を保ちつつ平行移動してもその形を変えないものを直線と呼ぶ。

(線分) 直線上に2点を定めて切断したものを線分と呼ぶ。

(曲線) 直線でも線分でもない線を曲線と呼ぶ。

(円) 1点（中心）から等しい距離にある点の集まりが成す曲線を円と呼ぶ。

(角) 2本の直線が交わる場合、角を成す。

(直角): 直線上に1点を定めて、それを角とみなした際の二等分角を直角と呼ぶ。

(平行): 相異なる2つの直線が交わらないとき、その2つの直線は平行である。

計算作図

(整数) 自然数の減算により到達できる数を整数と呼ぶ。

(有理数) 整数の除算により到達できる数を有理数と呼ぶ。

(実数) 線分の長さを実数と呼ぶ。

補足: 有理数ではない実数の存在は現時点では示すのが難しいため、後の演習問題とする。

なお、以降の計算問題では計算のために作図を行う必要はなく、文字を代数的に操ることで完了して良い。

図形

(四角形) 4本の線分で囲まれた図形を四角形と呼ぶ。

(長方形) 四角形のうち、全ての角が直角を成すものを長方形と呼ぶ。

(正方形) 長方形のうち、全ての辺の長さが等しいものを正方形と呼ぶ。

(図形の面積) 他の図形の面積と比較することで面積を測定できる。

補足: 「求めよ」とは何らかの方法でその値の正当性を示すところまで含む。

(三角形) 3本の線分で囲まれた図形を三角形と呼ぶ。

(直角三角形) 三角形のうち、一つの角が直角を成すものを直角三角形と呼ぶ。

補足: その式の正当性を示す作図を含む。

{雑談} (ピタゴラスの信仰) 古代ギリシャの数学者ピタゴラスは、数は有理数のみであると信じていたが、後にそうではないことを弟子に示されてその弟子を破門した。

(無理数) 有理数ではない実数を無理数と呼ぶ。

補足: その式の正当性を示す図解を含む。

この問題から我々は小学生のうちから積分の基礎を学んでいることを思い出させてくれる。

補足: この問題に解が与えられたのは 1882 年のことである。

(扇形): 円の中心から、角を成すように直線を2本描いた時、円周の一部と2本の直線（線分）から囲まれる部分を扇形と呼ぶ。

(角度): 半径1の扇形の弧長を定めると、扇形の線分で挟まれた角の大きさが一意に定まる。

従って、角の大きさを、その角を線分で挟まれた半径1の扇形の弧長により定める。

補足: 外角は内角を成す線分の一方を延長することで得られる非自明な角である。

三角関数

(負の座標): 任意の軸について、原点から見て任意の方向にある点の座標を正の値で取る時、もう一方の方向にある点の座標を負の値で取る。また、他の軸の符号に関してはその軸とは独立に定める。

(座標系上の図形): 図形上の点の座標が満たすべき式でその図形を表す。

(単位円): 原点を中心とした半径1の円を単位円と呼ぶ。

(始線): 直交座標系の軸のうち、1つ選択して、その軸の原点から正の向きの半直線を始線と呼ぶ。

$ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right),\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right),\cos\left(\pi-\theta\right),\cos\left(\pi-\theta\right),\cos\left(-\frac{\pi}{2}-\theta\right),\cos\left(-\frac{\pi}{2}+\theta\right),\cos\left(-\theta\right)

$ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right),\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right),\sin\left(\pi-\theta\right),\sin\left(\pi-\theta\right),\sin\left(-\frac{\pi}{2}-\theta\right),\sin\left(-\frac{\pi}{2}+\theta\right),\sin\left(-\theta\right)

$ \tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right),\tan\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right),\tan\left(\pi-\theta\right),\tan\left(\pi-\theta\right),\tan\left(-\frac{\pi}{2}-\theta\right),\tan\left(-\frac{\pi}{2}+\theta\right),\tan\left(-\theta\right)

$ \cos(\alpha-\beta),\ \cos(\alpha+\beta),\ \sin(\alpha-\beta),\ \sin(\alpha+\beta),\ \tan(\alpha-\beta),\ \tan(\alpha+\beta)

余談: さり気なく出題しているが阪大で出題されるくらいの問題である。

$ \cos\alpha\cos\beta,\ \sin\alpha\sin\beta,\ \cos\alpha\sin\beta, \sin\alpha\cos\beta

$ \cos\alpha+\cos\beta,\ \cos\alpha-\cos\beta,\ \sin\alpha+\sin\beta,\ \sin\alpha-\sin\beta\,

方程式

複素数

対数関数

(逆三角関数): 三角関数表を逆引きする操作もまた関数を成す。

補足: 正弦、余弦、正接の値から弧長(arc)を求めるためこのように呼ぶ。

{雑談}: 航海術において、大量の高精度乗算(すなわち多くの桁の数の乗算)が必要となった際に、船の上の計算師はこのような方法でズルをしていた。後にこのズルを更に短縮するための対数表が作成されることになる。

極限

この議論そのものが長いので記号を用いて書く。

このとき、上記の議論は次のように書ける。

$ ^{\forall\varepsilon>0,\exist\delta>0}\left\lbrack |x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-\alpha|<\varepsilon\right\rbrack\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{x\to c}f(x)=\alpha

左極限と右極限を次のように定める。

$ ^{\forall\varepsilon>0,\exist\delta>0}\left\lbrack c<x<c+\delta\Rightarrow |f(x)-\alpha|<\varepsilon\right\rbrack\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{x\to c+0}f(x)=\alpha

$ ^{\forall\varepsilon>0,\exist\delta>0}\left\lbrack c-\delta<x<c\Rightarrow |f(x)-\alpha|<\varepsilon\right\rbrack\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{x\to c-0}f(x)=\alpha

記号で書くと、

$ ^{\forall M>0,\exist\delta>0}\lbrack |x-c|<\delta\rightarrow f(x)>M \rbrack\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{x\to c}f(x)=\infty

左右極限に関しても同様に定める。

(振動) 発散も収束もしない場合、振動するという。振動は広義の発散に含まれることがある。

これを記号で書くと

$ ^{\forall\varepsilon>0,\exist N>0,\forall n>N}\left\lbrack x>n\Rightarrow|f(x)-\alpha|<\varepsilon\right\rbrack\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha

記号で書くと

$ ^{\forall M>0,\exist N>0,\forall n>N}\left\lbrack x>N\Rightarrow f(x)>M\right\rbrack\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty

微分・積分

ここではまだ微分を紹介していないため高難度となる。

真ん中の部分を取ってきて、

$ F(\chi)=\sum_{k=1}^nf(x_{\in L_k})\Delta x_k-C

差分を求めると、

$ F(\chi)-F(\chi-\Delta x_n)=\left(\sum_{k=1}^nf(x_{\in L_k})\Delta x_k-C\right)-\left(\sum_{k=1}^{n-1}f(x_{\in L_k})\Delta x_k-C\right)

$ =f(x_{\in L_n})\Delta x_n

$ f(x_{\in L_n})=\frac{F(\chi)-F(\chi-\Delta x_n)}{\Delta x_n}

ここで求めた量

全く同じ問題が高難度として出題されている。この問題の難易度が下がっているのは微分の恩恵である。

多変数関数の微分

$ S_3=\{(x,y)|-\sqrt{1-x^2}\le y<\sqrt{1-x^2}\}

全て記号で書くと次のようになる。

$ ^{\forall\varepsilon>0,\exist\delta>0}\lbrack f(U_\delta(x_0,y_0))\sub u_\varepsilon(\alpha)\rbrack\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=\alpha

複素関数

すべて記号で書くと次のようになる。

$ ^{\forall\varepsilon>0,\exist\delta>0}\left\lbrack |z-c|<\delta\Rightarrow |f(z)-\alpha|<\varepsilon\right\rbrack\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{z\to c}f(z)=\alpha

$ f'(z)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}