せっかくだし自分も身銭を切って最近造語したのを出してみよう
切り出し屋.icon適切なタイトルわからないので適宜変えてください
せっかくだし自分も身銭を切って最近造語したのを出してみようtakker.icon $ \mathcal Bの拡張$ \lang\mathcal B\rang_X:=\Set{B\in2^X|\exist B'\subseteq B:B'\in\mathcal B}というのを作った
フィルターによる位相空間論の文脈でよく現れてくる演算子
造語してないじゃん！おわり
定義も既存のものに、ZFC公理系で許可される形に少し書き換えただけ
まあ一応少しだけ続けるか……
$ \lang\mathcal B\rang_Xの性質を調べている文献が手元になかったのもあり、色々調べてみたら、興味深い性質が色々見つかった
1. $ \forall X,\mathcal F:\mathcal F\cap2^X\neq\varnothing\iff X\in\lang\mathcal F\rang_X
2. $ \forall X,\mathcal F:\varnothing\in\mathcal F\iff2^X=\lang\mathcal F\rang_X
3. $ \forall X,\mathcal G\forall\mathcal F\subseteq\mathcal G:\lang\mathcal F\rang_X\subseteq\lang\mathcal G\rang_X
4. $ \forall X,\mathcal F\forall F_1,F_2\in2^X:F_1\cap F_2\in\lang\mathcal F\rang_X\implies F_1,F_2\in\lang\mathcal F\rang_X
5. $ \forall X,\mathcal F:\mathcal F\cap2^X\subseteq\lang\mathcal F\rang_X
6. $ \forall X,\mathcal F:\lang\lang\mathcal F\rang_X\rang_X=\lang\mathcal F\rang_X
7. $ \forall X,\mathcal F:\left(\lang\mathcal F\rang_X\subseteq\mathcal F\iff\forall F_1,F_2\in2^X:(F_1\cap F_2\in\mathcal F\implies F_1,F_2\in\mathcal F)\right)
1~7をその場で証明せず、これらの結果を流用すればいいから
さらに、filterに関する定義が簡潔になる
例えば$ X上のfilter基$ \mathcal B\subseteq2^Xは、↓を満たす集合と定義されている (F1)$ \mathcal B\neq\varnothing
(F2)$ \varnothing\notin\mathcal B
(F3a)$ \forall B_1,B_2\in\mathcal B\exist B'\in\mathcal B:B_1\cap B_2\subseteq B'
これを拡張を使って書き換えると
(F1)$ \mathcal B\neq\varnothing
(F2)$ \varnothing\notin\mathcal B
(F3a)$ \forall B_1,B_2\in\lang\mathcal B\rang_X:B_1\cap B_2\in\lang\mathcal B\rang_X
となり、$ \lang\mathcal B\rang_Xが積集合について閉じているという見通しのいい表現にできる
また$ X上のfilter$ \mathcal F\subseteq2^Xは以下を満たす集合として定義される
(F1) 同上
(F2) 同上
(F3a) 同上
(F3b)$ \forall A\in2^X\forall F\in\mathcal F:F\subseteq A\implies A\in\mathcal F
この(F3b)は拡張を使うと
(F3b)$ \lang\mathcal F\rang_X\subseteq\mathcal F
と極めて簡潔な形に記述できる
さらに拡張の性質6.$ \forall X,\mathcal F:\lang\lang\mathcal F\rang_X\rang_X=\lang\mathcal F\rang_Xを用いれば、filter基$ \mathcal Bが$ \lang\lang\mathcal B\rang_X\rang_X\subseteq\lang\mathcal B\rang_Xを満たすことが自明なので、$ \lang\mathcal B\rang_Xがfilterになることを直ちに示せる。
証明の大半を$ \forall X,\mathcal F:\lang\lang\mathcal F\rang_X\rang_X=\lang\mathcal F\rang_Xに投げた形
またfilterは(F3b)と5.$ \forall X,\mathcal F:\mathcal F\cap2^X\subseteq\lang\mathcal F\rang_Xより$ \lang\mathcal F\rang_X=\mathcal Fと同値になるため、filterが「拡張が自分自身と同じになる集合」だという解釈を得られる
あとtakker.iconがかなり面白いと思ったのが
7.を用いると、(F3a)と(F3b)が
(F3)$ \forall F_1,F_2\in2^X:F_1,F_2\in\mathcal F\iff F_1\cap F_2\in\mathcal F
と同値であることが示せる。
論理式の数が減る、式形がかなりきれいになるという利点もある
しかしより興味深い発見は、この式が
開核の性質：$ \forall A,B\in2^X:(A\cap B)^\circ=A^\circ\cap B^\circ
閉包の性質：$ \forall A,B\in2^X:\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}
と(おそらく)対応するという点である
開核、閉包を公理づける論理式は4本だが、filterを拡張した全近傍系は5本で通常示される
この点でアンバランスさを感じていたが、全近傍系の式のうちの2本を(F3)にまとめることで、全近傍系も4本の論理式で構成できるようになり、開核・閉包との各論理式の関係性がより明瞭になる
位相空間に基本近傍系というのがある
$ \mathcal N^*が$ xの基本近傍系である$ :\iff\mathcal N^*\subseteq\mathcal N(x)\land\forall N\in\mathcal N(x)\exist N^*\in\mathcal N:N^*\subseteq N
$ \mathcal N(x)：$ xの全近傍系
これを拡張で書き換えると
$ \mathcal N^*が$ xの基本近傍系である$ :\iff\lang\mathcal N^*\rang_X=\mathcal N(x)
という非常に明瞭な式に変わる
しかも、$ \forall X,\mathcal B:\lang\mathcal B\rang_X\text{ is a filter on }X\iff\mathcal B\text{ is a filter base on }Xが成立することと、$ \mathcal N(x)がfilterでもあることから、基本近傍系はfilter基でもあることがわかる
基本近傍系とfilter基に関係を見いだしたときめっちゃテンション上がったtakker.icon*3
もちろんすべてがこれでうまく行くというわけではない
例えば閉包の開集合系$ \mathcal Oによる構成$ A^\circ=\Set{x\in X|\exist O\in\mathcal O:x\in O\subseteq A}も拡張と似てるのだが、微妙に違う
もちろん拡張を使おうと思えば$ A^\circ=\lang\mathcal O_{\ni x}\rang_Xいうふうに使えはするんだが、コレジャナイ感がすごい
ここで$ \mathcal O_{\ni x}:=\Set{O\in\mathcal O|x\in O}とした。$ \R_{\ge0}=\Set{x\in\R|x\ge0}みたいな記法と同じノリ
しかもこれ系の論理式については$ \forall O\forall\mathcal B:\left(\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0\right)\iff(\forall x\in O\exist B\in\mathcal B:x\in B\subseteq O)という別の関係があり、なんとなく食い合わせが悪そうに感じている
なーんか面白い構造を抽出できればいいんだけどなあ～
今のところこっち方面は手詰まり
いっぱい書いた気がするが、よくやっていることをいっぱい書けるのは当たり前だから、少しだけ書いたことにしよう
やっぱり造語とは関係なさそう
新しい見方を与えるとか、今まで見えてなかった関係性を見つけるとかのほうがメイン
とはいえ造語の効果にも期待できることだから、共通点は多いか
Summer498.icon
そう言えばtakker.iconも数学記号体系を造語する人だったわ
テンソルの記法について構築を頑張っていたのが印象に残っている。
めっちゃ頑張ったtakker.icon
あれのお陰で座標変換まわりの混乱を整理し新しい解釈を発見できた
同時に直接記法の限界と添え字記法の強力さを理解できた
もう少し改良できないかとも思うが、これ以上は紙を2次元から3次元にしないと難しい