cosを含む積分の計算方法がわからない(2025/05/21)

takker.icon from 2025/05/21

これどう計算するのかわからなかった

$ \int_{-1}^1\frac{\cos^{-1}\frac x2}{(\cos\frac\pi 3x)^2}\mathrm dx

※：$ 0\le\cos^{-1}\frac x2\le 1

わかる人いたら教えてほしいです

o4-miniに聞いてみたら5秒で解けた

takker.icon$ \int_{-1}^1\frac{\cos^{-1}\frac x2}{(\cos\frac\pi 3x)^2}\mathrm dxの解法

o4-mini.icon

以下の手順により，

code:tex

I = \int_{-1}^1 \frac{\arccos\bigl(\tfrac x2\bigr)}{\bigl(\cos\tfrac{\pi x}{3}\bigr)^2},dx

を求める．

$ x\to -xとおくと，$ \cos(\tfrac{\pi(-x)}3)=\cos(\tfrac{\pi x}3)である一方$ \arccos\bigl(-\tfrac x2\bigr)=\pi-\arccos\bigl(\tfrac x2\bigr)である．

よって，

code:tex

=\int_{-1}^1\frac{\arccos(\tfrac x2)}{\cos^2(\tfrac{\pi x}3)}dx

=\int_0^1\frac{\arccos(\tfrac x2)+\arccos(-\tfrac x2)}{\cos^2(\tfrac{\pi x}3)}dx

=\int_0^1\frac{\pi}{\cos^2(\tfrac{\pi x}3)}dx

符号反転させて相殺するなんて全く思いつかなかった……takker.icon

次似たような積分が出たら、この手法を試してみよう

定積分$ \displaystyle\int_0^1\sec^2\bigl(\tfrac{\pi x}3\bigr)dxの計算

一般に$ \int\sec^2(ax)dx=\tfrac1a\tan(ax)であるから，

code:tex

\int_0^1\sec^2\bigl(\tfrac{\pi x}3\bigr)dx

=\frac{3}{\pi}\tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)

=\frac{3}{\pi}\sqrt3

最終結果

code:tex

=\pi\int_0^1\sec^2\bigl(\tfrac{\pi x}3\bigr)dx

=\pi\cdot\frac{3}{\pi}\sqrt3

=3\sqrt3\\

\boxed{3\sqrt3}

4oでも同じ結論に至った

o4を試して思ったけど、数学の大学院入試問題なら、o4などの推論モデルに聞けば解答がわかる？

数学の過去問の解答を入手できなかったのでどうしようかと考えていたが、これならo4に解答を生成させて、それと見比べて採点や解き直しをやっていけばいいのかな

回答がガバる事あるけど、実際の問題集とかでもガバることがあると思えば、実質問題集の回答を見るのと大差ない