Cauchyの関数方程式の関連
積ではなく和
定理（コーシーの関数方程式の関連）
$ f: \R (\mathrm{or} (0, \infty)) \rightarrow \Rを連続関数とする。このとき、
1. $ f(x+y) = f(x)f(y)かつ$ f(x) > 0の解は$ f(x)=e^{cx} (c, x \in \R)である。
解いてみるtakker.icon
$ \Bbb Qまでは示せた
$ f(\sum_ix_i)=\prod_if(x_i)となる
$ \because数学的帰納法
これより$ f(nx)=f(x)^n
$ f(1) = aを入れれば$ f(n)=a^n\quad\text{.for }\forall n\in\Nが成り立つ
$ f(-nx)=f(x)^{-n}だから$ f(n)=a^n\quad\text{.for }\forall n\in\Z_{\neq0}が成り立つ
$ f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)\implies f(0)=1だから$ f(n)=a^n\quad\text{.for }\forall n\in\Zが成り立つ
$ \forall m,n\in\Z.f(\frac mn)^n=f(m)=a^mだから$ \forall b\in\Bbb Q.f(b)=a^bが成り立つ
あとはこれを$ \Rに拡張できればいいのだが……
$ q_iが$ xに収束する有理数列だとして、$ a^{q_i}\to a^x\quad(i\to\infty)と$ a^xを定義すればいけるか？
このとき、$ q_iに収束先が存在するなら$ f(q_i)にも収束先が存在することを示さないといけない
たぶんここで連続性を使うんだろうな