確率1/Nのくじを何回引くと何%で当たるか
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知らずに自力で導出すると「こんなところに$ eが！」と感動する
思い出してきた
$ \frac1N のくじであたりを引くまでの回数は$ 4.5N くらいにすると大体$ 99[\%] の確率で当たりが引けるみたいな公式を作ってた
実際は$ N 回引けば$ 63[\%] の確率で当たるの方でチャレンジして、当たらなかったら慰めのために$ 4.5Nの方を思い出す
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1%で当たるくじを
A: 当たるまで引く場合の引く回数の期待値
B: 100回引いた時の当たる確率
C: 100回引いた時の当たる回数の期待値
の関係ってあんまり自明じゃないよね
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ある程度小さい確率$ \frac1nで当たるくじのnishio.iconの諸々を求めたい
A: 当たるまで引く場合の引く回数の期待値
B: $ n回引いたときの当たり確率
$ \left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\frac1{\left(1+\frac1{n-1}\right)^{n-1}\cdot(1+\frac1{n-1})}
$ >\frac1e
C: $ n回引いたときの当たる回数の期待値
特殊事例よりも一般的に確率$ \frac{K}{N}のくじの諸々を求めることで各種確率分布を導くほうが楽しそう
ちゃんと確率を教えるところではこれをやると思う
1. $ n回引いて$ k回当たる確率
$ _nC_k\left(\frac KN\right)^k\left(1-\frac KN\right)^{n-k}
$ =\,_nC_kp^k(1-p)^{n-k}\quad\left(p=\frac{K}{N}\right)
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A: 1%で当たるくじを当たるまで引く場合の引く回数の期待値
$ E = 1 \times {1\over 100} + 2 \times {99 \over 100} \times {1\over 100} + 3 \times {99 \over 100} \times {99 \over 100} \times {1\over 100} + \ldots
このn項までの和をSnとした場合
$ Sn - {99 \over 100} Sn = 1 \times {1\over 100} + 1 \times {99 \over 100} \times {1\over 100} + 1 \times {99 \over 100} \times {99 \over 100} \times {1\over 100} + \ldots
となって$ n\to \inftyで1になる
よって$ E = 100
C: 1%で当たるくじを100回引いた時の当たる回数の期待値
1回引いた時の当たる回数の期待値が$ E_1 = 1 \times {1\over 100} + 0 \times {99 \over 100} = {1 \over 100}
各試行は独立なので「和の期待値は期待値の和」が成立して$ E = 1
ではなぜBが1にならないかというと
Cは
$ 0\times P(X=0) + 1 \times P(X = 1) + 2 \times P(X = 2) + \ldots = 1
と言っていて、もちろん
$ P(X=0) + P(X = 1) + P(X = 2) + \ldots = 1
$ P(X = 2) + \ldots > 0
なのでB、つまり
$ P(X = 1) + P(X = 2) + \ldots
は1になれないというわけ