滑面領域における摩擦損失係数の理論式を陽に解く
対数関数と一次函数が混じった函数の逆函数に特別な名前が付いているか知っている方はいらっしゃいませんか？takker.icon 具体的には陰函数$ F(R_e,\sqrt{f}):=\frac{1}{\sqrt{f}}-1.74+2.0\log\left(\frac{18.7}{R_e\sqrt{f}}\right)=0を$ R_eから$ \sqrt{f}の函数に書き換えたい 調べようにも、検索ワードがわからず手も足もでない
$ f:z\mapsto ze^zの逆函数を$ Wと定義する
$ x:=\ln f(z)=\ln z+z then $ z=(\ln\circ f)^{-1}(x)=f^{-1}(e^z)=W(e^x)
check: $ W(e^{\ln z+z})=W(ze^z)=z
あってる
$ 0=y+a+b\ln(yx)を$ x\mapsto yに変形できれば、題意を陽な函数に変形できる $ \iff y+b\ln y+b\ln x+a=0
$ \iff \ln\left(y^be^y\right)=-b\ln x-a
詰まった
この展開はむりそう
wikiによると、$ e^{-cx}=a(x-r)の形なら$ Wで表せるらしい
$ 0=y+a+b\ln(yx)は無理じゃないか？
$ \iff e^{-a-y}=y^bx^b
$ \iff e^{-y}=e^a(y^bx^b)
これ以上は自力じゃ無理そう……takker.icon
とりあえず、Wの性質だけでも調べておくか。
逆函数の性質
$ W(ze^z)=z
$ W(z\ln z)=W(\ln z(e^{\ln z}))=\ln z
$ W(z)e^{W(z)}=z
両辺の$ \lnをとる
$ \ln W(z)=\ln z-W(z)
$ e^z代入
$ \ln W(e^z)=z-W(e^z)
$ \therefore z=x+\ln x\iff x=W(e^z)
ひらめいた！！！
$ 0=y+a+b\ln(yx)
$ \iff y+b\ln y+b\ln x+a=0
$ \iff \frac{y}{b}+\ln y+\ln x+\frac{a}{b}=0
($ b\neq0と仮定)
$ \iff \frac{y}{b}+\ln\frac{y}{b}+\ln x+\frac{a}{b}+\ln b=0
$ \iff \frac{y}{b}+\ln\frac{y}{b}=-\frac{a}{b}-\ln xb
$ \iff \frac{y}{b}=W\left(e^{-\frac{a}{b}-\ln xb}\right)
$ \underline{\iff y=bW\left(\frac{e^{-\frac{a}{b}}}{xb}\right)\quad}_\blacksquare
check: $ \frac{y}{b}e^\frac{y}{b}=\frac1{xb}e^{-\frac{a}{b}}
$ \iff xye^\frac{y}{b}=e^{-\frac{a}{b}}
$ \iff yb^{-1}+\ln xy=-ab^{-1}
$ \iff 0=y+a+b\ln xy
あってる
あとは$ a,bに実験式の定数を代入すればおしまい
$ \frac{1}{\sqrt{f}}-1.74+2.0\log\left(\frac{18.7}{R_e\sqrt{f}}\right)=0
$ \iff \frac1{\sqrt{f}}+0.8-2.0\log(R_e\sqrt{f})=0
$ \iff{\sqrt{f}}^{-1}+0.8+\frac{2.0}{\ln10}\ln({R_e}^{-1}{\sqrt{f}}^{-1})=0
$ y=\frac1{\sqrt{f}},a=0.8,b=\frac{2.0}{\ln10},x={R_e}^{-1}を代入すれば、$ R_e\mapsto fが以下のように求まる
$ \underline{\frac{1}{\sqrt{f}}=\frac{2.0}{\ln10}W\left(\frac{\ln 10}{2.0}10^{-0.4}R_e\right)\quad}_\blacksquare
これで一件落着ですね！
ところで粗面乱流・遷移領域・滑面乱流を表現する内挿式があってですね(白目)
$ F(R_e,\sqrt{f}):=\frac{1}{\sqrt{f}}-1.74+2.0\log\left(\frac{2k_s}{d}+\frac{18.7}{R_e\sqrt{f}}\right)=0
$ \frac{k_s}{d}は定数扱いしていいのですが……これ解けるの？
等価な方程式はこれ
$ y+a+b\ln(c+xy)=0
wikipedia見たら、陽に解いた式があるっぽい？
対数関数と一次函数が混じった函数の逆函数に特別な名前が付いているか知っている方はいらっしゃいませんか？ ！！？！！！？！！takker.icon
しかも自分でコメントしてたのにすっかり忘れてた