完全流体の運動方程式
Euler数式発見しすぎtakker.icon
$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\pdev{\pmb{u}}{t}+\pdev{\pmb{u}}{\pmb{x}}\pmb{u}=\pmb{f}-\frac1\rho\pdev{P}{\pmb{x}}
$ \pmb{u}: 位置$ \pmb{x}, 時刻$ tでの流速 $ \pmb{f}: 時刻$ tにて位置$ \pmb{x}にはたらく単位質量あたりの外力
$ P: 位置$ \pmb{x}, 時刻$ tでの圧力
$ \rho: 位置$ \pmb{x}, 時刻$ tでの密度
$ \pmb{u}の非線型項$ \frac{\partial \pmb{u}}{\partial \pmb{x}}{\pmb{u}}(対流項と呼ぶ)の存在が、この方程式の分析を難しくしている
実は流体粒子の運動に着目した場合は、とても式が簡単になる
流体粒子Aの時刻$ tにおける位置を$ \pmb{\phi}(P,t)とすると、上の運動方程式はこうなる
$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\ddot{\pmb{\phi}}(A,t)=\left.\pmb{f}-\frac1\rho\pdev{P}{\pmb{x}}\right|_{\pmb{x}=\pmb{\phi}(A,t)}
ようはNewtonの運動方程式$ ma=Fに流体粒子の位置と加わる力を代入しただけ
しかし、流体を解析するときに一般にほしいのは、流体粒子一つ一つの位置ではなく、ある場所における流体の流れである
絵の具の拡散とかなら追跡したいか？
そのため、ある位置における流速$ \pmb{u}を使って運動方程式を立式する必要がある
導出
2つの方針がある