多様体まで丁寧に歩く解析学問題集の工事現場
本のページの量が多くなりすぎて重くなってきたので工事現場だけ切り出し
出来上がったそばからマージする
双対空間
問題: (ブラケット): ブラベクトル$ \lang\bm x|=\bm x^*とケットベクトル$ |\bm y\rang=\bm yを定義するとき、内積$ \lang\bm x,\bm y\rangをブラケットで表せ。ただし、内積を定めるエルミート行列は$ Hとする。
(双対ベクトル): 線形汎関数$ f:V\to Kは終域が体である。体はベクトル空間であるため、線形写像はベクトル空間を終域にもつ。従って線形汎関数全体の集合もベクトル空間を成す。このベクトル空間を$ V^*で表すことにすると$ V^*=(V\to K)となる。
(線形性): $ (kf+g)(\bm x)=k\{f(\bm x)\}+g(\bm x)
問題: 線形写像$ K^m\to K^nを行列$ K^{m\times n}とみなして(有限次元)ベクトルとその双対ベクトルの行列としての型を比べよ。
(双対ベクトル): ベクトル$ \bm xの双対ベクトルはエルミート共役$ \bm x^*で定める。
問題: ケットベクトル$ |\bm x\rangの双対ベクトルを求めよ。
(共変性と反変性): ベクトル空間$ Vの基底$ \bm e_1,\cdots,\bm e_nを伸縮させた基底$ \bm e'_i=k\bm e_iに取り替えることを考える。
問題: (係数): $ \bm x\in Vを基底$ \bm e'_1\cdots\bm e'_nを用いて表せ。
問題: (双対基底): 内積のもとになる行列を取り替えない場合、双対ベクトル空間の基底$ \bm e^iを新しい基底$ (\bm e^i)'に取り替えることになる。双対ベクトル空間$ V^*の基底$ \bm e^1\cdots\bm e^nはどのように変化するか？
問題: (双対ベクトル): 双対ベクトル空間の元$ \bm a=\sum_{i=1}^n a_i{\bm e^i}\in V^*を新しい基底$ (\bm e^i)'を用いて表せ。
(共変性): 基底の長さを$ k倍した時に$ k倍される係数や基底ベクトルを共変性を持つという。
(反変性): 基底の長さを$ k倍した時に$ \frac1k倍される係数や基底ベクトルを反変性を持つという。
(下付き添字): 共変性と反変性が意識される文脈で、共変成分は下付き添字で表される。
(上付き添字): 共変性と反変性が意識される文脈で、反変成分は上付き添字で表される。
問題: (正規直交基底): 正規直交基底は$ \bm e^i=\bm e_iを満たすか？
問題: (一般の基底): 一般の基底は$ \bm e^i=\bm e_iを満たすか？
問題: (上下添字): ブラベクトル$ \lang\bm x|=\lbrack x_1\ x_2\ \cdots\ x_n\rbrackとケットベクトル$ |\bm y\rang=\lbrack y^1\ y^2\ \cdots\ y^n\rbrack^\topの積$ \lang\bm x|\bm y\rangを計算し、成分で表せ。
(アインシュタインの縮約記法): 主に物理学では$ \sum_{i=1}^n x_iy^iを単に$ x_iy^iと書くことがある。
この記法では積の中に含まれる、上下で対になった同じ記号に関して和を取ることを約束する。
このページでは紛らわしくなるのを避けるため、縮約記法に関する話題を除いて縮約せずに話を進める。
問題: $ g_{\tau\mu\nu}x^{\tau}y^{\mu}z^{\nu}を縮約せずに表せ。
問題: (共変と反変): ベクトル空間と双対ベクトル空間を始域や終域にもつ線形写像を成分で表せ。(添字の上下に注意)
(線形関数1): 線形関数$ f:V\to Vを基底$ \bm e^i\bm e_jを用いて表せ。
(線形関数2): 線形関数$ f:V\to V^*を基底$ \bm e^i\bm e^jを用いて表せ。
(線形関数3): 線形関数$ f:V^*\to Vを基底$ \bm e_i\bm e_jを用いて表せ。
(線形関数4): 線形関数$ f:V^*\to V^*を基底$ \bm e_i\bm e^jを用いて表せ。
(テンソル): 双対空間を意識する場合、行列では情報量が足りなくなるため上下添字を用いる。一般にこのようなものをテンソルという。
行列式
(行列式): 連立方程式が一意解を持つ条件を調べるために正方行列からスカラーへの写像$ \det:K^{n\times n}\to Kを考える。
このとき、引数を$ n本のベクトルと考えると、多変数関数$ \det:\underbrace{K^n\times\cdots\times K^n}_{n\ \rm times}\to Kと見なせる。
$ \rm detには以下の性質を要請する。
(多重線型性): $ \det(\bm x_1,\cdots,{\color{red}k\bm x_i+\bm y},\cdots,\bm x_n)={\color{red}k}\det(\bm x_1,\cdots,{\color{red}\bm x_i},\cdots,\bm x_n)+\det(\bm x_1,\cdots,{\color{red}\bm y},\cdots,\bm x_n)
(交代性): $ \det(\bm x_1,\cdots,{\color{red}\bm a},\cdots,{\color{red}\bm a},\cdots,\bm x_n)=0
(単位行列): $ \det(\bm e_1,\cdots,\bm e_n)=1
(解の判別): 行列式に一次独立なベクトルからなる行列を代入したときと、一次従属なベクトルを含むベクトルからなる行列を代入したときで値を比較せよ。
(引数の置換): $ \det(\bm x_1,\cdots,{\color{red}\bm x_j},\cdots,{\color{red}\bm x_i},\cdots,\bm x_n)を$ \det(\bm x_1,\cdots,{\color{red}\bm x_i},\cdots,{\color{red}\bm x_j},\cdots,\bm x_n)を用いて表せ。
(置換): 順序付き集合の要素を入れ替える操作を(n次の)置換と呼ぶ。
$ \Sigma(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_j,\cdots,x_n)=(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(i)},\cdots,x_{\sigma(j)},\cdots,x_{\sigma(n)})
$ \sigma:\Lambda\to\Lambdaは添字集合を始域と終域に取る全単射
$ \sigma=(\sigma(1),\cdots,\sigma(i),\cdots,\sigma(j),\cdots,\sigma(n))のように置換後の添字を並べることで置換を明示的に表す。
(互換): 順序のある集合の2つの要素を入れ替える操作を互換と呼ぶ。
$ (x_{\sigma(1)},\cdots,{\color{red}x_{\sigma(i)}},\cdots,{\color{red}x_{\sigma(j)}},\cdots,x_{\sigma(n)})=(x_1,\cdots,{\color{red}x_j},\cdots,{\color{red}x_i},\cdots,x_n)
$ \sigma=\begin{pmatrix}i\ j\end{pmatrix}と書く。
(余談): この書き方は要素数が 2 の置換と紛らわしいため、置換か互換か明示する方が良い。
(置換の積): 置換した順序集合に再び置換を施す操作を置換の積と呼ぶ。
問題: (置換群): 置換は群を成すか？
問題: (互換の積): 有限順序集合における任意の置換は有限個の互換の積で表せるか？
問題: (置換の偶奇): 奇数回の互換の積で表される置換の集合と偶数回の互換の積で表される置換の集合の交わりを求めよ。
(置換の符号): 置換を互換の積で表した際の偶奇によって符号$ {\rm sgn}(\sigma)を割り当てる。
$ |\sigma|を置換を構成する互換の個数とすると、
$ {\rm sgn}(\sigma)=(-1)^{|\sigma|}
問題: (添字の置換の総和): $ \left(\sum_{\sigma\in{\rm Alt}(4)}{\rm sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^4a_{i,\sigma(i)}\right)\left(\sum_{\sigma\in{\rm Alt}(4)}{\rm sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^4b_{i,\sigma(i)}\right)を展開せよ。
項数が非常に多くなるので事前に見積もってから始めると良い。
なお$ {\rm Alt}(n)は$ n次の置換全体を表す。
問題: (添字の置換の総和): $ \left(\sum_{\sigma\in{\rm Alt}(4)}{\rm sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^4\left(\sum_{j=1}^na_{i,j}b_{j,\sigma(i)}\right)\right)を展開せよ。
項数が非常に多くなるので事前に見積もってから始めると良い。
問題: (ライプニッツの公式): 行列を構成するベクトルを基底の線形和とすることで n 次正方行列の行列式の値を計算せよ。
問題: (行列式の性質): $ \det(AB)と$ \det(A^{-1})と$ \det(A^\top)を$ \det(A)と$ \det(B)を用いて表せ。
(小行列): 行列$ Aの$ i行目と$ j列目を取り除いた行列$ M_{i,j}(A)を$ (i,j)\text-小行列(submatrix)と呼ぶ。
(小行列式): 行列$ Aの$ (i,j)\text-小行列の行列式$ m_{i,j}(A)=\det(M_{i,j}(A))を小行列式(minor)と呼ぶ。
問題: (行列式): 行列$ Aの行列式$ \det(A)を、小行列式で表せ。
(行): 第$ \color{red}i行目のベクトルの成分$ a_{{\color{red}i},j}と小行列$ m_{i,j}(A)を用いて表せ。
(列): 第$ \color{red}j列目のベクトルの成分$ a_{i,{\color{red}j}}と小行列$ m_{i,j}(A)を用いて表せ。
(余因子): $ (i,j)\text-小行列式$ m_{i,j}(A)に対して、$ c_{i,j}=(-1)^{i+j}m_{i.j}を$ (i,j)\text-余因子(cofactor)と呼ぶ。
問題: (ラプラス展開): 行列$ Aの行列式$ \det(A)を余因子を用いて表せ。
(行): 第$ \color{red}i行目のベクトルの成分$ a_{{\color{red}i},j}と余因子$ c_{i,j}(A)を用いて表せ。
(列): 第$ \color{red}j列目のベクトルの成分$ a_{i,{\color{red}j}}と余因子$ c_{i,j}(A)を用いて表せ。
(余因子行列): 第$ (i,j)成分に$ (i,j)\text-余因子$ c_{i,j}(A)を並べた行列$ C(A)=\lbrack c_{i,j}(A)\rbrack_{i,j}を余因子行列(co-factor matrix)と呼ぶ。
(古典随伴行列): 余因子行列の転置$ \tilde A=C(A)^\topを古典随伴行列(classical adjoint matrix / adjugate matrix)と呼ぶ。
(余談: 訳語問題): どういうわけか大抵の書籍では adjungate matrix のことを余因子行列と記している。
この事にはいくつかの理由が考えうる
余因子行列を使用する場面よりも古典随伴行列を使用する場面が多い
古典随伴行列は随伴行列(adjoint matrix)(エルミート行列)と紛らわしい
しかし、訳語との整合性と「余因子」と言う用語との整合性を鑑みると、co-factor matrix を余因子行列と呼ぶほうが相応しい。
問題: (古典随伴行列): 古典随伴行列と行列の積$ \tilde A Aと$ A\tilde Aを求めよ。なお、$ \det(A)は計算せずにそのまま用いて良い。
問題: (クラメルの公式): 逆行列$ A^{-1}を古典随伴行列$ \tilde Aを用いて表せ。
テンソル
問題(図形の変換): 図形(立体)上の任意の点をベクトル$ \bm x_\lambdaで表す($ \lambdaはそれぞれの点を区別する添字)。線形写像$ Aを用いて点の位置を移動させ、新たな点$ \hat{\bm x}_\lambda=A\bm x_\lambdaを得る事を考える。以下の場合について図形がどのように変換されるか？
(対角行列): $ Aが対角行列
(直交行列): $ A^\top A=E
(対称行列): $ A^\top=A
(直線バネ): バネの片側末端を固定して、もう片側末端$ Dを位置$ \bm xから位置$ \hat xにバネと平行になるように移動させた時に、バネにかかる力$ \bm fは$ \bm f=k({\hat{\bm x}-\bm x)}を満たすこと(フックの法則)が知られている。
問題: (直線バネ): 末端$ Dの静止位置$ \bm xを原点$ \bm 0とすると、原点近傍の任意の点$ \bm x_\lambdaは新たな点$ \hat{\bm x}_\lambda=x\bm x_\lambdaに移動する。フックの法則を$ \bm x_\lambdaを用いて表せ。
(平面バネ): ゴムでできた平面がある。正四面体がある面$ Sが平面とゴム平面と平行になるように、その反対側の頂点が十分な接着力でゴム平面に糊付けされている。
(垂直な力): この正四面体を平面に対して垂直方向に押したり引いたりすると、バネのように元に戻ろうとする。
(傾ける力): また、正四面体を傾けても四面体が回転してバネのように元に戻ろうとする。
(捻る力): さらに、平面と面$ Sの平行を保ちつつ、正四面体をひねっても、四面体が回転してバネのように元に戻ろうとする。
(応力): ゴム平面に垂直な単位ベクトル(単位法線ベクトル)を$ \bm nとした時、ゴム平面にかかる力を線形写像$ \sigma:\R^3\to\R^3を用いて$ \bm f=\sigma\bm nのように定める。
問題: (応力): ゴム平面にかかる力$ \bm f=\sigma\bm nを法線成分ベクトルと平面成分ベクトル2本に分けて$ Fの成分を用いて表せ。
(歪み): 正四面体がゴム平面に接する点を原点として、ゴム平面上の原点近傍の任意の点$ \bm x_\lambdaがゴム平面にかかる力により元の位置から移る新たな点$ \hat{\bm x}_\lambdaを線形写像$ \varepsilon:\R^3\to\R^3を用いて$ \hat{\bm x}_\lambda=\varepsilon\bm xのように定める。
問題: (歪み): ゴム平面の歪み$ \hat{\bm x}_\lambda=\varepsilon\bm x_\lambdaを法線成分ベクトルと平面成分ベクトル2本に分けて$ \varepsilonの成分を用いて表せ。
問題: (弾性係数？): ゴム平面にかかる応力$ \bm fと歪み$ \hat{\bm x}_\lambdaの関係は1次元のフックの法則に倣って、$ \bm f=\mathcal C\hat{\bm x}のように書ける。$ Fと$ Xを用いてこの式を表せ。
(行列もベクトル): 線形写像$ f:K^m\to K^nは終域がベクトルであるためそれ自身をベクトルと見なせる。
(線形性) $ (kf+g)(\bm x)=k\{f(\bm x)\}+g(\bm x)
問題: (行列の次元): 線形写像$ f:K^m\to K^n全体の空間の基底ベクトルは何本あるか？
問題: (行列の基底): 以下のように定められた$ (\bm e_i\otimes\bm e_j):K^m\to K^n全体の集合は線形写像$ K^m\to K^n(をベクトルとみなしたときの)の基底をなすか？
$ (\bm e_i\otimes\bm e_j)\bm e_j=P_{i,j}(\bm e_j)=\bm e_i
$ (\bm e_i\otimes\bm e_j)\bm e_j=P_{i,j}(\bm e_{k\ne j})=\bm 0
問題: (行列の成分表示): 行列$ A\in K^{m\times n}を基底$ \bm e_i\otimes\bm e_jを用いて成分表示せよ。
問題: (行列の線形写像): ベクトルとしての行列をベクトルとしての行列に写す線形写像$ \mathcal C:\R^{3\times 3}\to\R^{3\times 3}を考える。
行列$ \varepsilon\in\R^{3\times 3}と行列$ \sigma=\mathcal C\varepsilon\in\R^{3\times 3}の成分表示から線形写像$ \mathcal Cを成分表示をせよ。
問題: (結合律): $ \otimesは結合律$ \bm a\otimes(\bm b\otimes\bm c)\overset?=(\bm a\otimes\bm b)\otimes\bm cを満たすか？
問題: (可換性): $ \otimesは可換$ \bm a\otimes\bm b\overset?=\bm b\otimes\bm aか？
問題: (線形性1): $ \otimesは第一引数に対して線形$ (k\bm a+\bm b)\otimes\bm x\overset?=k(\bm a\otimes\bm x)+(\bm b\otimes\bm x)か？
問題: (線形性2): $ \otimesは第二引数に対して線形$ \bm x\otimes(k\bm a+\bm b)\overset?=k(\bm x\otimes\bm a)+(\bm x\otimes\bm b)か？
(テンソル積): 結合的な双線形写像$ \otimes:\bigotimes(K^n)\times\bigotimes(K^n)\to\bigotimes(K^n)をテンソル積と言う。
ただし、$ \otimes^k(K^n)=\underbrace{K^n\otimes\cdots\otimes K^n}_{n\ \rm times}、特に$ \otimes^0(K^n)=K,\ \otimes^1(K^n)=K^nとし、
$ \bigotimes(K^n)=\bigoplus_{\lambda=0}^\infty\otimes^\lambda(K^n)=K\oplus K^n\oplus\otimes^2(K^n)\oplus\cdots\oplus\otimes^\lambda(K^n)\oplus\cdotsとする。
集合$ S,Tについて、非交和$ \oplusは$ S\oplus T=(S\cup T)\setminus(S\cap T)を表す。
特に、$ S\cap T=\varnothingのとき、$ S\oplus T=S\cup Tだが、交わりが空であることを強調するために$ \oplusを用いることがある。
(k-階テンソル): $ \otimes^k(K^n)を k-階テンソルと呼ぶ。
問題: (低階テンソル): スカラー$ K、ベクトル$ K^n、線形写像$ K^n\to K^nはそれぞれ何階テンソルか？
問題: (テンソルの添字表記): $ \sigma^{ij}=\sum _{k,l}c_{kl}^{ij}\varepsilon^{kl}を4階テンソルと行列を用いて表せ。
問題: (転置テンソル): 転置は線形写像か？また、そうであればどのようなテンソルで表せるか？また、エルミート共役に関しても先の問に答えよ。
外積
問題: (体積の線形性): 平行四辺形の辺をベクトル$ \bm a_1,\bm a_2で表すとき、平行四辺形の面積を$ V_2(\bm a_1,\bm a_2)とする。このとき$ V_2(k\bm x+\bm y,\bm a_2)を求めよ。（その正当性を図で示せ）
問題: (体積の線形性): 平行六面体の辺をベクトル$ \bm a_1,\bm a_2,\bm a_3で表すとき、平行六面体の超体積を$ V_3(\bm a_1,\bm a_2,\bm a_3)とする。このとき$ V_3(k\bm x+\bm y,\bm a_2,\bm a_3)を求めよ。（その正当性を図で示せ）
問題: (体積の線形性): 平行超多面体の辺をベクトル$ \bm a_1,\cdots,\bm a_nで表すとき、平行超多面体の超体積を$ V_n(\bm a_1,\cdots,\bm a_n)とする。このとき$ V_n(k\bm x+\bm y,\bm a_2,\cdots,\bm a_n)を求めよ。（その正当性を図で示せ）
問題: (潰れていると): 線形従属なベクトル$ \bm a_1,\cdots,\bm a_nが形成する平行超多面体(?)の体積$ V_n(\bm a_1,\cdots,\bm a_n)を求めよ。（その正当性を図で示せ）
問題: (行列式): 平行超多面体の体積を行列式$ \det(\lbrack\bm a_1\ \cdots\ \bm a_n\rbrack)を用いて表せ。
問題: (古典随伴行列): 行列式$ \det(\lbrack\bm a_1\cdots\bm a_n\rbrack)を古典随伴行列$ \tilde A_{1,j}を用いて表せ。
問題: (底辺ベクトル): 平行四辺形の斜辺をベクトル$ \bm a、底辺に垂直かつ底辺と同じ大きさのベクトルを$ \bm sで表す時、平行四辺形の面積を求めよ。
問題: (底面積ベクトル): 平行六面体の斜辺をベクトル$ \bm a、底面に垂直かつ底面積と同じ大きさのベクトルを$ \bm sで表す時、この平行六面体の体積を求めよ。
問題: (底面積ベクトル): 平行六面体の辺をベクトル$ \bm a_1,\bm a_2,\bm a_3で表す時、底面$ (\bm a_2,\bm a_3)に垂直かつ底面積と同じ大きさのベクトル$ \bm sの成分を求めよ。
問題: (底(超)体積ベクトル): n次元平行超多面体の斜辺をベクトル$ \bm a、底(超)体に垂直かつ底(超)体積と同じ大きさのベクトルを$ \bm sで表す時、この平行超多面体の体積を求めよ。
問題: (底(超)体積ベクトル): n次元平行超多面体の辺をベクトル$ \bm a_1,\cdots,\bm a_nで表す時、底面$ (\bm a_2,\cdots,\bm a_3)に垂直かつ底(超)体積と同じ大きさのベクトルを$ \bm sの成分を求めよ。
(2-ベクトル): 交代双線形写像$ \wedge: K^n\times K^n\to\wedge^2(K^n)を定める。
任意の$ \bm a,\bm b,\bm x\in K^nについて、
(交代性): $ \bm a\wedge\bm a=\bm 0_2
(双線型性): $ (k\bm a+\bm b)\wedge\bm x=k\bm a\wedge\bm x+\bm b\wedge\bm x
問題: (2-ベクトルの基底分解): ベクトル$ \bm a=\sum_{i=1}^n a_i\bm e_i,\ \bm b=\sum_{j=1}^nb_j\bm e_jについて$ \bm a\wedge\bm bを計算して成分で表せ。
(k-ベクトル): 交代双線形写像$ \wedge:\wedge^i(K^n)\times\wedge^{k-i}(K^n)\to\wedge^{k}(K^n)\quad(i\le k\le n)を定める。
なお、$ \wedge^0(K^n)=K、$ \wedge^1(K^n)=K^nである。
任意の$ \bm a,\bm b\in\wedge^\alpha(K^n),$ \bm x\in\wedge^\xi(K^n),$ \bm y\in\wedge^\psi(K^n)について、
(結合性): $ (\bm a\wedge\bm x)\wedge\bm y=\bm a\wedge(\bm x\wedge\bm y)
(交代性): $ \bm a\wedge\bm a=\bm 0_{2\alpha}
(双線型性): $ (k\bm a+\bm b)\wedge\bm x=k\bm a\wedge\bm x+\bm b\wedge\bm x
(双線型性): $ \bm x\wedge(k\bm a+\bm b)=k\bm x\wedge\bm a+\bm x\wedge\bm b
問題: (k-ベクトルの基底分解): ベクトル$ \bm a_i=\sum_{j=1}^na_{i,j}\bm e_jについて$ \bm a_1\wedge\cdots\wedge\bm a_{\color{red}k}を求めよ。
問題: (n-ベクトルの基底分解): ベクトル$ \bm a_i=\sum_{j=1}^na_{i,j}\bm e_jについて$ \bm a_1\wedge\cdots\wedge\bm a_{\color{red}n}を求めよ。
(ウェッジ積): 交代双線形写像$ \wedge:\bigwedge(K^n)\times\bigwedge(K^n)\to\bigwedge(K^n)をウェッジ積や楔積と呼ぶ。
ただし、$ \bigwedge(K^n)=\bigoplus_{i=0}^n\wedge^i(K^n)=K\oplus K^n\oplus\wedge^2K^n\oplus\cdots\oplus\wedge^nK^nである。
問題: (ウェッジ積とベクトル空間): ウェッジ積の終域はベクトル空間か？
問題: (ウェッジ積終域の次元): ウェッジ積終域の次元を求めよ。
(向き): 単位 n-ベクトル$ \omega\in\wedge^n K^nを向き付けと呼ぶ。$ \omegaは何通りに定まるか？
問題: (ウェッジ積の代数構造): 代数構造$ \left(\bigwedge(K^n),\wedge\right)はどんな代数構造か？
(ウェッジ積): 環としてのテンソル積の環構造を保存しつつ$ x\otimes xを$ 0とみなした物をウェッジ積と考えることもできる。
$ \left(\bigwedge(K^n),\wedge\right)=\left(\bigotimes(K^n),\otimes\right){\Large/}\{\bm x\otimes\bm x\}
これを商環と呼び、$ I=\{\bm x\otimes\bm x\}をイデアルと呼ぶ。
問題: (k-ベクトルのドット積): k-ベクトル$ \bm a=\bigwedge_{i=1}^k,$ \bm b=\bigwedge_{j=1}^k\bm b_jのドット積$ \bm a\cdot\bm bを求めよ。また、各ベクトルのドット積を要素に持つ行列$ \lbrack\bm a_i\cdot\bm b_j\rbrack_{i,j}の行列式$ \det(\lbrack\bm a_i,\bm b_j\rbrack_{i,j})を求めよ。
問題: (k-ベクトルの内積): k-ベクトル$ \bm a=\bigwedge_{i=1}^k\bm a_i,$ \bm b=\bigwedge_{j=1}^k\bm b_jの内積を要素に持つ行列$ \lbrack\lang\bm a_i,\bm b_j\rang\rbrack_{i,j}の行列式$ \det(\lbrack\lang\bm a_i,\bm b_j\rang\rbrack_{i,j})は k-ベクトル$ \bm a,\bm bの内積と言えるか？
問題: (k-ベクトルの内積): 正定値エルミート行列$ H=H^\dag\in K^nを用いて内積を$ \lang\bm x,\bm y\rang=\bm x^\dag H\bm yで定めるとき、k-ベクトル$ \bm a,\bm b\in\wedge^k(K^n)の内積を成分$ a_{i,j},b_{i,j,},m_{i,j}を用いて表せ。
問題: (k-ベクトルのノルム): k-ベクトルの内積を用いて、k-ベクトルのノルム$ \|\bm a\|=\sqrt{\lang\bm a,\bm a\rang}を計算し成分で表せ。
問題: (k-ベクトルの距離): k-ベクトルのノルムを用いて、k-ベクトルの距離$ d(\bm x,\bm y)=\|\bm x-\bm y\|を計算し、成分で表せ。
(連続写像): 写像$ f:X\to Yにおいて、それぞれの空間での距離を$ d_X,d_Yとした時に、以下の式を満たすものを連続写像と言う。
$ ^{\forall\varepsilon>0,\exist\delta>0}\lbrack d_X(x,x_\delta)<\delta\quad\Rightarrow\quad d_Y(f(x),f(x_\delta))<\varepsilon\rbrack
同じことだが、$ \lim_{x_\delta\to x}f(x_\delta)=f(x)
(同相写像): 連続全単射かつ逆写像も全単射の写像$ f:X\to Yを同相写像という。
(埋め込み): 写像$ f:X\to Yが単射であるとき、像の上への写像$ f':X\to{\rm Im}f(X)は全単射になる。この全単射$ f'が同相写像である時、写像$ fを埋め込みといい、空間$ Xは空間$ Yに埋め込まれるという。
問題: (ウェッジ積と埋め込み): ウェッジ積の左側を固定した写像$ L(\bm x)=\bm c_L\wedge\bm xは埋め込みか？また、右側を固定したものはどうか？
問題: (ウェッジの正体?): 単位ベクトルを並べた行列の 1 列目と 2 列目をベクトル$ \bm a,\bm bの要素で書き換えた行列の行列式を形式的に計算せよ。
ただし、ベクトルとベクトルの積はウェッジ積で求めよ。
すなわち、$ \det\left(\begin{bmatrix}a_1&b_1&\bm e_1&\cdots&\bm e_1\\a_2&b_2&\bm e_2&\cdots&\bm e_2\\a_3&b_3&\bm e_3&\cdots&\bm e_3\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_n&b_n&\bm e_n&\cdots&\bm e_n\end{bmatrix}\right)を求めよ。
(ホッジ双対): k-ベクトル$ \bm a,\bm b\in\wedge^k(K^n)について、以下の式を満たす演算子$ \star:\wedge^k(K^n)\to\wedge^{n-k}(K^n)をホッジスター演算子やホッジ双対という。
$ \bm a\wedge\star \bm b=(\bm a\cdot\bm b)\omega
(補足): ホッジ双対を内積で定義するとする資料は多く見られるが、その内積自体がドット積と同じものとして扱われている。内積をエルミート行列で任意性を持たせて定義した場合はホッジ双対の性質が異なるものになる。
どちらの定義にしたほうが良いのかは現在も悩んでいるが、ウェッジ積自体が代数的に定義されているため、とりあえず（幾何的な演算子である内積とは異なり）代数的な演算子であるドット積で定義するものとする。
問題: k-ベクトルの正規直交基底$ \bm e_1\cdots\bm e_nにおいて、$ \bm e_i\wedge\star\bm e_jを計算せよ。
問題: スカラー$ kのホッジ双対$ \star kを求めよ。
問題: 単位n-ベクトル$ \omegaのホッジ双対$ \star\omegaを求めよ。
問題: (ホッジ双対の計算): $ \bm a,\bm b\in\wedge^k(K^n)について、$ \star\bm a\wedge\bm b,\ \star(\bm a\wedge\bm b),\ \star\star\bm a,\ \star\bm a\wedge\star\bm bを求めよ。
問題: (ホッジスターの基底): $ \bm a\in\wedge^k(K^n)のとき、$ \star\bm aの基底を$ K^nの基底$ \{\bm e_1,\cdots,\bm e_n\}のウェッジ積で表せ。
問題: (ホッジスターの展開): $ \bm a\in\wedge^k(K^n)のとき、$ \star\bm aを成分で表せ。
(クロス積): クロス積$ \times:\bigwedge(K^n)\times\bigwedge(K^n)\to\bigwedge(K^n)を$ \bm a\times\bm b=\star(\bm a\wedge\bm b)と定める。
(豆知識): ハミルトンは複素数を拡張した四元数を用いる方法でクロス積を定義した。ここで紹介するクロス積はハミルトンのものとは異なるが、2,3 次元の場合に一致する。また、7次元の場合を除いてハミルトンのクロス積は定義できず、（もしかしたら15次元やその他$ 2^n-1次元の場合に定義できるかもしれないが）、$ d\ge7次元の場合はハミルトンのクロス積は$ d次元ベクトルを返すため、ウェッジ積とホッジ双対によるクロス積とは計算結果が一致しない。
問題: (クロス積は何重ベクトルか): n次元 i-ベクトルと j-ベクトルのクロス積が k-ベクトルになるとして、kを求めよ。
問題: 2, 3, 4 次元ベクトル$ \bm a,\bm b\in K^n\quad(n=2,3,4)のクロス積$ \bm a\times\bm bを計算して成分で表せ。
問題: (底面積ベクトル): 3次元ベクトル$ \bm a,\bm b,\bm c\in K^3の三重積$ \lang\bm a,\bm b\times\bm c\rangを計算して成分で表せ。
問題: (底(超)体積ベクトル): n次元ベクトル$ \bm a_1,\bm a_2,\cdots,\bm a_n\in K^nについて$ \lang \bm a_1,\star(\bm a_2\wedge\cdots\wedge\bm a_n)\rangを求めよ。
幾何積
(交代性): $ \bm x,\bm y\in\bigwedge(K^n)について$ \bm x\wedge\bm x=\bm 0から$ \bm x\wedge\bm y=-\bm y\wedge\bm xを導けるか？
(幾何積): 以下の公理を満たす二項演算$ \circ:\bigcirc(K^n)\times\bigcirc(K^n)\to\bigcirc(K^n)を幾何積と呼ぶ。
$ \bm a\circ\bm bを単に$ \bm a\bm bと書く
(結合性): $ (\bm a\bm x)\bm y=\bm a(\bm x\bm y)
(基底の冪): $ \bm e_i\bm e_i=1\in K
(交代性): $ \bm e_i\bm e_j=-\bm e_j\bm e_i\quad(i\ne j)
(双線型性): $ (k\bm a+\bm b)\wedge\bm x=k\bm a\wedge\bm x+\bm b\wedge\bm x
(双線型性): $ \bm x(k\bm a+\bm b)=k\bm x\bm a+\bm x\bm b
問題: (ウェッジ積と幾何積): ベクトル$ \bm a,\bm b\in K^nの幾何積$ \bm a\bm bとウェッジ積$ \bm a\wedge\bm bの係数を比較せよ。
問題: (ドット積と幾何積): ベクトル$ \bm a,\bm b\in K^nの幾何積$ \bm a\bm bの係数とドット積$ \bm a\cdot\bm bを比較せよ。
問題: ホッジ双対は$ \bm a\wedge\star\bm b=(\bm a\cdot\bm b)\omegaで表される。$ \bm a\bm\beta=\bm a\cdot\bm\beta+(\bm a\cdot\bm b)(\bm e_1\bm e_2\cdots\bm e_n)を満たす$ \bm \betaを求めよ。
多変数関数の微積分
(偏微分): 多変数関数$ f(x_1,\cdots,x_n)を1つの変数$ x_kについて微分したものを関数$ fの$ x_kによる偏微分といい、$ \frac{\partial}{\partial x_k}f(x_1,\cdots,x_n)や$ \frac{\partial f}{\partial x_k}のように書く。
問題: (全微分): 多変数関数$ f(x_1,\cdots,x_n)の偏微分を集めたベクトル$ \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\ \cdots\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\topと、微小量を集めたベクトル$ \left({\rm d}x_1\ \cdots\ {\rm d}x_n\right)^\topのドット積を求めよ。
(全微分): 多変数関数の全微分を$ {\rm d}f=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}{\rm d}x_iにより定める。
問題: (独立な変数): $ f(x,y)が$ tとは独立に定められる時、$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}f(x,y)を求めよ。
問題: (独立な変数): 変数$ x_iと$ x_jが独立に定められる時、$ \frac{{\rm d}x_i}{{\rm d}x_j}を求めよ。
問題: (偏微分との整合性): 全微分$ {\rm d}fと微小量$ {\rm d}x_iとの商$ \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x_i}を求めよ。
(正のルベーグ積分): 関数$ f^+(x)\ge0において、一定の閾値以上の値を満たす$ xの集合を$ E(f^+,y)=\{x\in\R|y<f^+(x)\}により定める。$ E(f^+,x)の長さ(測度)を$ \mu(E(f^+,y))により測定するとき、$ \int_{-\infty}^{\infty} f^+(x){\rm d}x=\int_0^\infty\mu(E(f^+,y)){\rm d}yとなる。
(ルベーグ積分の絵): 適当な関数$ f^+と集合$ E(f^+,y)を描くことで理解が進むだろう。
問題: (負のルベーグ積分): 関数$ f^-(x)\le0において、$ \int_{-\infty}^\infty f^-(x){\rm d}xを求めよ。
問題: (ルベーグ積分): 関数$ f(x)=f^+(x)+f^-(x)において、$ \int_{-\infty}^\infty f(x){\rm d}xを求めよ。
(豆知識1): ルベーグ積分により、多少の(測度0の)不連続点があっても積分ができるようになる。
(豆知識2): (超)球の表面積/体積と(超)平行多面体の体積はリーマン積分の考え方よりもルベーグ積分の考え方のほうが計算しやすい。
問題: (ルベーグ積分): リーマン積分とルベーグ積分の値が一致することを確認せよ。
(重積分): n次元空間における関数値の積分を、$ \int\cdots\int f(x_1,\cdots,x_n){\rm d}x_1\cdots{\rm d}x_nで表す。
この計算は微小直方体内部の関数値を足し合わせていると考えられる。
問題: (重積分の変数変換): 微小直方体の辺をまとめてベクトルで表す$ {\rm d}\bm t=({\rm d}t_1\ \cdots\ {\rm d}t_n)^\top。このとき、線形変換後のベクトル$ {\rm d}\bm x= A{\rm d}\bm tで表す。
このとき、$ {\rm d}\bm xが成す図形は何か？またその体積を求め、線形変換前の微小直方体の体積との比を求めよ。
問題: $ \bm x =A\bm tで変換される時、関数$ f(x_1,\cdots,x_n)の$ t_1,\cdots,t_nによる重積分を求めよ
問題: $ \bm x =\chi(\bm t)で変換される時、関数$ f(x_1,\cdots,x_n)の$ t_1,\cdots,t_nによる重積分を求めよ
ベクトル解析
(スカラー): ベクトルの係数体$ Kをスカラーという。
(スカラー場): ベクトルからスカラーへの写像$ f:V\to Kをスカラー場と言う。
(ベクトル場): ベクトルからベクトルへの写像$ \bm f:V\to Vをベクトル場と言う。
問題: (気温): 経度$ x_1、緯度$ x_2、高さ$ x_3の地点での気温$ f(\bm x)はスカラー場か？ベクトル場か？
問題: (風): 経度$ x_1、緯度$ x_2、高さ$ x_3の地点で、風速$ v、風向$ \bm nの風$ \bm v(\bm x)=v\bm nはスカラー場か？ベクトル場か？
問題: (その他): 水流、標高、磁界はスカラー場か？ベクトル場か？
問題: (山の勾配): 山の標高$ f(\bm x)の$ x_j方向に移動した時の変化量を$ \frac{\partial f}{\partial x_j}とするとき、勾配ベクトル$ \rm gradを求めよ。
問題: (空中爆発): 空中で爆発した爆弾周辺の風速$ \bm f(\bm x)=\lbrack f_1(\bm x)\cdots f_n(\bm x)\rbrack^\topの各成分について$ x_j方向に移動した時の変化量を$ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}とするとき、爆発で発散する空気の量$ \rm divを求めよ。
問題: (渦潮): 渦潮周辺の水流$ \bm f(\bm x)=\lbrack f_1(\bm x)\cdots f_n(\bm x)\rbrack^\topの各成分について$ x_j方向に移動した時の変化量を$ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}とするとき、渦潮と垂直方向に向かう渦潮の水流に比例する大きさのベクトルを求めよ。
(回転の回転)
(勾配の回転)
(ガウスの発散定理)
(ストークスの定理)
(グリーンの定理)
微分形式