プランクよりも良い単位系を求めて

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自然単位系: 物理定数を1にして定める単位系

単位を先に決めるとしわ寄せとして物理定数が現れるが、裏を返せば物理定数を1にする方程式を解けば新たな単位系を定められる。

次元

長さ$ \lbrack\rm L\rbrack

時間$ \lbrack\rm T\rbrack

質量$ \lbrack\rm M\rbrack

電荷$ \lbrack\rm Q\rbrack

温度$ \lbrack\Theta\rbrack

プランク単位系

真空中の光速度: $ c=1\lbrack\rm L/T\rbrack

万有引力定数: $ G=1\lbrack\rm L^3/MT^2\rbrack

クーロン力定数: $ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=1\lbrack\rm ML^3/Q^2T^2\rbrack

→真空誘電率: $ \varepsilon_0=4\pi\lbrack\rm Q^2T^2/ML^3\rbrack

ボルツマン定数: $ k_B=1\lbrack\rm ML^2/T^2\Theta\rbrack

ディラック定数: $ \bar{\bm h}=\frac{h}{2\pi}=1\lbrack\rm ML^2/T\rbrack

換算プランク定数とも

プランク単位系を従来の単位系を宣言するのと同じように宣言できないだろうか

真空中の光速度を$ 1とする。

光の運動量を光の振動数の$ 2\pi倍とする。$ p_c=2\pi\nu

物質の静止エネルギーを質量とする。$ E=m

組み合わせた量の話ばっかり出てくるなぁ

各物理定数が現れる式

光速度$ c

ローレンツ因子: $ \gamma=\sqrt{\frac{1}{1-\left({v^2}/{c^2}\right)}}

$ c=1とすると、$ \gamma=\sqrt{\frac{1}{1-v^2}}

真空の誘電率と透磁率: $ c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}

$ c=1とすると、$ \mu_0=\varepsilon_0^{-1}

一般の媒質の構成方程式

$ \bm D=\varepsilon_0\bm E+\bm P

$ \bm H=\mu_0^{-1}\bm B-\bm M

$ c=1とすると、$ \mu_0^{-1}=\varepsilon_0なので式が統一される。

万有引力定数$ G

万有引力: $ F_g=-G\frac{m_1m_2}{r^2}

$ G=1とすると、$ F_g=-\frac{m_1m_2}{r^2}

$ G=\frac1{4\pi}とすると、$ F_g=-\frac{m_1m_2}{4\pi r^2}

球の表面積の公式を分母に持ってくる

ケプラーの第三法則: $ \frac{a^3}{T^2}=G\frac{m+M}{4\pi^2}

$ G=1とすると、$ \frac{a^3}{T^2}=\frac{m+M}{4\pi^2}

$ a^3\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2=m+M

$ G=\frac1{4\pi}とすると、$ \frac{a^3}{T^2}=\frac{m+M}{16\pi^3}

$ (\pi a)^3\left(\frac{4}{T}\right)^2=m+M

$ 2\pi a^3\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2=\frac{m+M}2←これが一番キレイ

アインシュタイン方程式: $ G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

$ G_{\mu\nu}はアインシュタイン・テンソル（時空の曲率）

$ T_{\mu\nu}は物質分布を示すエネルギー・運動量テンソル

$ g_{\mu\nu}は時空の計量テンソル

$ \Lambdaは宇宙定数（宇宙が萎むのを防ぎたい信仰上の理由からアインシュタインが導入した）

宇宙定数の存在を認めない場合: $ G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

宇宙定数は設定経緯から認めない立場もありうる。

しかも観測的には$ \Lambda<10^{-120}となっており、このことを宇宙定数支持派の言葉では予測(プランク単位系で1くらいになると予想されているらしい)と120桁の誤差があると記述されているが、シンプルに宇宙定数が$ 0と考えても良いのではないか。

$ c=1,G=1として宇宙定数を認めないと、$ G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}

$ c=1,G=\frac1{4\pi}として宇宙定数を認めないと、$ G_{\mu\nu}=2 T_{\mu\nu}

誘電率を$ 1とするときのクーロン力と比較すると、$ G=\frac{1}{4\pi}の方がキレイ。

特にアインシュタイン方程式に謎の$ 8\piではなく$ 2が現れるだけなのが良い

プランク定数・換算プランク定数（ディラック定数）

プランク定数: $ h=2\pi\bar{\bm h}

$ \bar{\bm h}=\frac{h}{2\pi}

光子のエネルギー: $ E=h\nu=\frac{h}{2\pi}\cdot2\pi\nu=\bar{\bm h}\omega

$ \nuは周波数、$ \omegaは角周波数

$ \bar{\bm h}=1にすると$ E=2\pi\nu=\omega

$ h=1にすると$ E=\nu=\frac\omega{2\pi}

（光子の？）運動量$ p=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{2\pi}\frac{2\pi}{\lambda}=\bar{\bm h}k

$ \lambdaは波長、$ kは角波数

$ \bar{\bm h}=1にすると、$ p=\frac{2\pi}\lambda=k

$ h=1にすると、$ p=\frac1\lambda=\frac{k}{2\pi}

電子の軌道角運動量の

大きさ: $ |\bm L|=\bar{\bm h}\sqrt{l(l+1)}

$ z成分: $ L_z=m\bar{\bm h}

$ \bar{\bm h}=1にすると、$ |\bm L|=\sqrt{l(l+1)}、$ L_z=m

$ h=1にすると、$ |\bm L|=\frac{\sqrt{l(l+1)}}{2\pi}、$ L_z=\frac{m}{2\pi}

不確定性原理

$ \Delta x\cdot\Delta p\ge{\bar{\bm h}}/{2}

$ \Delta xは位置の不確かさ、$ \Delta pは運動量の不確かさ

$ \Delta E\cdot\Delta t\ge{\bar{\bm h}}/{2}

$ \Delta Eはエネルギーの不確かさ、$ \Delta tは時間の不確かさ

$ \bar{\bm h}=1とすると、

$ \Delta x\cdot\Delta p=1/2

$ \Delta E\cdot\Delta t=1/2

$ h=1とすると、$ \bar{\bm h}={1}/{2\pi}

$ \Delta x\cdot\Delta p\ge{1}/{4\pi}

$ \Delta E\cdot\Delta t\ge{1}/{4\pi}

運動量と位置の波動関数がフーリエ変換対であることを考えると、不確定性原理には崇高そうに聞こえる説明は不要になる。単にフーリエ変換に不確定性があるからだ。

関数$ fを絶対可積分かつ自乗絶対可積分と仮定し、

一般性を失わずに$ \int_\R|f(x)|^2{\rm d}x=1と正規化しても良い。

$ fのフーリエ変換を$ \hat f(\xi)とする。

$ x=0周りでの拡散は$ D_0(f):=\int_\R x^2|f(x)|^2{\rm d}xで定義される。

これは$ 0の周りでの分散に相当する。

この時に関数$ f(x)が絶対連続で、関数$ x\cdot f(x),\ f'(x)が自乗絶対可積分であるならば、

$ D_0(f)D_0(\hat f)\ge1/{16\pi^2}={1}/{(4\pi)^2}

これを見ると換算プランク定数ではなくプランク定数のほうが$ 1とするに相応しいように見える。

クーロン力定数: $ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}

$ \varepsilon_0は真空の誘電率

クーロン力: $ F=k\frac{q_1q_2}{r^2}

$ \varepsilon_0=1とすると、$ F=\frac{q_1q_2}{4\pi r^2}

球の表面積の公式が分母に現れる

$ k=1とすると、$ F=\frac{q_1q_2}{r^2}

ボルツマン定数

ボルツマンの原理: $ S= k_B\ln W

$ Sはエントロピー、$ Wは取りうる状態の数

$ k_B=1とすると、$ S=\ln W

気体の状態方程式: $ PV=nN_Ak_BT

$ PV=nRTの$ R=N_Ak_B

$ k_B=1とすると、$ PV=nN_AT

実は地味にアボガドロ定数も新しいのに変わる。

質量の値が変わる→アボガドロ定数のコンセプトから質量$ \approx物質量の時の数をアボガドロ定数にすべき→アボガドロ定数も変わる。

量子統計力学の式: $ \Theta:=\frac{t}{\bar{\bm h}}-i\frac{1}{k_BT}

$ \bar{\bm h}=1,k=1とすると、$ \Theta:=t-\frac{i}{T}

$ h=1,k=1とすると、$ \bar{\bm h}=\frac{1}{2\pi}となり、$ i\Theta:=\frac{1}{T}+2\pi it

いかにも指数関数にのせてほしそうな顔をしている

微細構造定数

$ \alpha=\frac{e^2}{k\bar{\bm h}c}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\bar{\bm h}c}

$ eは電気素量

$ \varepsilon_0=1,h=1\Leftrightarrow\bar{\bm h}=\frac1{2\pi},c=1とすると、

$ \alpha=\frac{e^2}{2}

$ e=\sqrt2とすると、$ \alpha=1

以上の考察を元にした新しい物理定数

真空中の光速度: $ c=1\lbrack\rm L/T\rbrack

万有引力定数: $ G=\frac{1}{4\pi}\lbrack\rm L^3/MT^2\rbrack

真空誘電率: $ \varepsilon_0=1\lbrack\rm Q^2T^2/ML^3\rbrack

→クーロン力定数: $ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{1}{4\pi}\lbrack\rm ML^3/Q^2T^2\rbrack

ボルツマン定数: $ k_B=1\lbrack\rm ML^2/T^2\Theta\rbrack

プランク定数: $ h=1\lbrack\rm ML^2/T\rbrack

→ディラック定数: $ \bar{\bm h}=\frac{h}{2\pi}=\frac1{2\pi}\lbrack\rm ML^2/T\rbrack

換算プランク定数とも

電気素量: $ e=\sqrt 2\lbrack\rm ML^3/QT^2\rbrack

... クーロン力定数で$ \rm Qが決まるのに電気素量を勝手に決めてもええんやろか？

虚時間 (ウィック回転)

ミンコフスキー空間の計量は計量テンソルを$ {\rm diag}(-1,1,1,1)とすると、

$ {\rm d}s^2=-({\rm d}t^2)+{\rm d}x^2+{\rm d}y^2+{\rm d}z^2になる

$ t'=itとすれば、

$ {\rm d}s^2={\rm d}t'^2+{\rm d}x^2+{\rm d}y^2+{\rm d}z^2

$ \lbrack\rm T\rbrack=\lbrack L/i\rbrackあるいは、$ \lbrack\rm T\rbrack=\lbrack i L\rbrackではなかろうか？

→ 取り敢えず$ \lbrack\rm T\rbrack=\lbrack iL\rbrackとすると、

真空中の光速度: $ c=i\lbrack\rm L/iL\rbrack=i\lbrack\rm /i\rbrack

万有引力定数: $ G=\frac{1}{4\pi}\lbrack\rm L^3/Mi^2L^2\rbrack=-\frac{1}{4\pi}\lbrack\rm L/M\rbrack

真空誘電率: $ \varepsilon_0=1\lbrack\rm Q^2i^2L^2/ML^3\rbrack=-1\lbrack\rm Q^2/ML\rbrack

→クーロン力定数: $ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{1}{4\pi}\lbrack\rm ML^3/Q^2i^2L^2\rbrack=-\frac1{4\pi}\lbrack\rm ML/Q^2\rbrack

ボルツマン定数: $ k_B=1\lbrack\rm ML^2/i^2L^2\Theta\rbrack=-1\lbrack\rm M/\Theta\rbrack

プランク定数: $ h=1\lbrack\rm ML^2/iL\rbrack=1\lbrack\rm ML/i\rbrack

→ディラック定数: $ \bar{\bm h}=\frac{h}{2\pi}=\frac1{2\pi}\lbrack\rm ML^2/iL\rbrack=\frac1{2\pi}\lbrack\rm ML/i\rbrack

換算プランク定数とも

電気素量: $ e=\sqrt 2\lbrack\rm ML^3/Qi^2L^2\rbrack=-\sqrt 2\lbrack\rm ML/Q\rbrack

質量は負の方がキレイになる。$ 1\lbrack\rm M^-\rbrack=-1\lbrack M\rbrack

真空中の光速度: $ c=i\lbrack\rm L/iL\rbrack=i\lbrack\rm /i\rbrack

万有引力定数: $ G=\frac{1}{4\pi}\lbrack\rm L^3/Mi^2L^2\rbrack=-\frac{1}{4\pi}\lbrack\rm L/M\rbrack=\frac{1}{4\pi}\lbrack\rm L/M^-\rbrack

真空誘電率: $ \varepsilon_0=1\lbrack\rm Q^2i^2L^2/ML^3\rbrack=-1\lbrack\rm Q^2/ML\rbrack=1\lbrack\rm Q^2/M^-L\rbrack

→クーロン力定数: $ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{1}{4\pi}\lbrack\rm ML^3/Q^2i^2L^2\rbrack=-\frac1{4\pi}\lbrack\rm ML/Q^2\rbrack=\frac1{4\pi}\lbrack\rm M^-L/Q^2\rbrack

ボルツマン定数: $ k_B=1\lbrack\rm ML^2/i^2L^2\Theta\rbrack=-1\lbrack\rm M/\Theta\rbrack=1\lbrack\rm M^-/\Theta\rbrack

プランク定数: $ h=1\lbrack\rm ML^2/iL\rbrack=1\lbrack\rm ML/i\rbrack=-1\lbrack\rm M^-L/i\rbrack=1\lbrack\rm M^-iL\rbrack

→ディラック定数: $ \bar{\bm h}=\frac{h}{2\pi}=\frac1{2\pi}\lbrack\rm ML^2/iL\rbrack=\frac1{2\pi}\lbrack\rm ML/i\rbrack=-\frac1{2\pi}\lbrack\rm M^-L/i\rbrack=\frac1{2\pi}\lbrack\rm M^-\,iL\rbrack

換算プランク定数とも

電気素量: $ e=\sqrt 2\lbrack\rm ML^3/Qi^2L^2\rbrack=-\sqrt 2\lbrack\rm ML/Q\rbrack=\sqrt 2\lbrack\rm M^-L/Q\rbrack

$ \therefore時間は長さに対する純虚数にして、質量を負にしたほうが全体的にキレイになる

単位に虚数単位$ \rm iが現れるのがキショい。

$ \rm Tと$ \rm Lの直角を保ちつつ、変な向きにしてやれば消えるのではないか？

→ $ \theta-(\theta+\frac\pi2)=0

できん。

単位がごちゃついてるのを運動量を使ってまとめたい

$ \lbrack{\rm Mo}\rbrack=\lbrack{\rm ML/T}\rbrack

プランク単位系

真空中の光速度: $ c=1\lbrack{\rm L/T}\rbrack=1\lbrack{\rm Mo/M}\rbrack

万有引力定数: $ G=1\lbrack\rm L^3/MT^2\rbrack=1\lbrack{\rm Mo^2L/M^3}\rbrack

クーロン力定数: $ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=1\lbrack\rm ML^3/Q^2T^2\rbrack=\lbrack{\rm Mo^2L/MQ^2}\rbrack

→真空誘電率: $ \varepsilon_0=4\pi\lbrack\rm Q^2T^2/ML^3\rbrack=4\pi\lbrack{\rm MQ^2/Mo^2L}\rbrack

ボルツマン定数: $ k_B=1\lbrack\rm ML^2/T^2\Theta\rbrack=1\lbrack{\rm Mo^2/M\Theta}\rbrack

$ \Theta=\bull^2/\rm Lの形に見える。→$ k_B=1\lbrack{\rm Mo^2L/M\bull^2}\rbrack (こうするとなぜか万有引力、クーロン力と似た形になる。)

$ \bull=\sqrt{\Theta\rm L}何だこの単位は……。

ディラック定数: $ \bar{\bm h}=\frac{h}{2\pi}=1\lbrack\rm ML^2/T\rbrack=1\lbrack{\rm MoL}\rbrack

換算プランク定数とも