カルダノの公式

3次方程式の解の公式

$ 0=x^3+3ax^2+6bx+2c　←めっちゃ恣意的に整えられた三次式

$ =\left(x-a\right)^3-3a^2x+a^3+6bx+2c

$ =\left(x-a\right)^3+3\left(2b-a^2\right)x+a^3+2c

$ =\left(x-a\right)^3+3\left(2b-a^2\right)(x-a)+a^3+3(2b-a^2)a+2c

$ =\left(x-a\right)^3+3\left(2b-a^2\right)(x-a)-2a^3+6ab+2c

$ \qquad\chi=x-a,\beta=2b-a^2,\gamma=a^3-3ab-c)

$ =\chi^3+3\beta\chi-2\gamma

$ \qquad\chi=u+v

$ =(u+v)^3+3\beta(u+v)-2\gamma

$ =u^3+v^3+3uv(u+v)+3\beta(u+v)-2\gamma

$ =u^3+v^3-2\gamma+3(uv+\beta)(u+v)

$ \Leftarrow\left\{\begin{matrix}u^3+v^3-2\gamma=0\\uv+\beta=0\end{matrix}\right.

ここなんでだろうyosider.icon

これカルダノの公式をやるときに誰もが引っかかる場所Summer498.icon

$ \Leftrightarrowを$ \Leftarrowに修正しましたSummer498.icon

修正したとしてもこれで全解網羅できるのかという疑問は残るけども。

$ \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u^3+v^3=2\gamma\\u^3v^3=-\beta^3\end{matrix}\right.

解と係数の関係から$ u^3,v^3は以下の二次方程式を満たす。

$ t^2-2\gamma t-\beta^3=0

$ u^3=\gamma+\sqrt{\gamma^2+\beta^3}

$ v^3=\gamma-\sqrt{\gamma^2+\beta^3}

1の虚立方根を$ \omegaとすると、

$ u=\omega^k\,^3\sqrt{\gamma+\sqrt{\gamma^2+\beta^3}}

$ v=\omega^{3-k}\,^3\sqrt{\gamma-\sqrt{\gamma^2+\beta^3}}

$ \because$ uvが実数なので、$ \omega^k\omega^{3-k}=1となるようにペアを組む。

$ \chi=u+vより

$ \chi=\omega^k\,^3\sqrt{\gamma+\sqrt{\gamma^2+\beta^3}}+\omega^{3-k}\,^3\sqrt{\gamma-\sqrt{\gamma^2+\beta^3}}

$ \chi=x-a,\beta=2b-a^2,\gamma=a^3-3ab-cより

$ x=a+\omega^k\,^3\sqrt{a^3-3ab-c+\sqrt{\left(a^3-3ab-c\right)^2+\left(2b-a^2\right)^3}}

$ +\omega^{3-k}\,^3\sqrt{a^3-3ab-c-\sqrt{\left(a^3-3ab-c\right)^2+{\left(2b-a^2\right)}^3}}

これだけ複雑だと正しいかどうか確認するのも苦行になる。Summer498.icon

っていうか、絶対どっかミスってるだろ

大事なのは、二次方程式の解の公式が三乗根の中に含まれること

つまり、二次方程式の求解問題に落とし込む作業が大事。