座標

3次元空間でのオブジェクトは、拡大・縮小、回転、平行移動を組み合わせることで編集することができます。

そして、同時座標系を用いれば、そうした操作を行列の掛け算だけで実現することができるのです。

座標とは？

ざっくり例えると住所のこと

※Unityは左手系を採用しているため、上の図と軸の向きが異なります。

足し算・引き算

ベクトル・行列の足し算と引き算は、下のように、同じ場所にある数を各々計算します。

https://gyazo.com/25a43bd024c4c0fe51375bf65892f9c0

掛け算

掛け算は少しトリッキーです。下のように、同じ色で囲われた数を先ず掛け、その結果を合計します。

https://gyazo.com/c97cb04c9a6e057168fdafb8b8e4e696

※ ベクトルを1列に書いても、1行に書いても、本質的な違いはありません。但し、掛け算の順序に注意しましょう！

※ ベクトル・行列の掛け算では、順序が重要です。掛ける順番が違えば、結果も違ってしまいます。

さて、ベクトルで座標を表すことにしましたが、行列はどんな役割を担うのでしょうか。

オブジェクトは複数の点から出来ていることを思い出しましょう。

そして、行列を掛けると、その点たちの座標が変化します。

ということは、行列を掛けることで、オブジェクトを編集することができるのです。

拡大・縮小

下の形の行列を掛けると、オブジェクトの拡大・縮小が行えます。

回転

下の形の行列を掛けると、オブジェクトの回転が行えます。

平行移動？

上の2種類の行列を組み合わせると、オブジェクトを自由に編集できそうに思えます。

しかし、どう頑張っても平行移動ができないことに気付くはずです。

そこで登場するのが、4番目の座標Wを持つ同次座標系です。

同次座標（X, Y, Z, W）とこれまでの直交座標（x, y, z）は、次のような関係式で結びついています。

https://gyazo.com/9ef11e0786cac75718feebb4688a8e16

4番目の座標Wのおかげで、下の形の行列を掛けると、オブジェクトの平行移動が行えます。