トランスリニア原理

記号の説明

$ I_\mathrm{C}はコレクタ電流

$ V_\mathrm{BE}はベース・エミッタ間電圧

$ V_T=kT/qは熱電圧（kはボルツマン定数、qは素電荷、Tは絶対温度）

$ I_\mathrm{EB}はエミッタ・ベース間遮断電流

$ I_\mathrm{EBS}はコレクタ・ベース間を短絡して測定

$ I_\mathrm{EBO}はコレクタ・ベース間を開放して測定

JISC7030「トランジスタ測定方法」によると、エミッタ・ベース間を逆バイアスにしてエミッタ電流を測定する。

逆バイアス：ベース側をGNDとし、エミッタ側に電圧をかける。

文献

1. 集積化で進化したトランジスタ回路技術 - トランジスタ技術2023年1月号 p.139

2. 電子回路概論第7章非線形演算回路 7-1 トランスリニア回路

3. トランスリニア原理

4. トランスリニア回路の動作 - トランジスタ技術2004年12月号 p.241

5. Translinear Circuits - TU Delft OCW

6. Transconductance | アナログ・デバイセズ

7. トランジスタの相互コンダクタンス計算方法

8. トランス・リニア・バイアスによるパワーアンプ

9. @BonsukeR による解析例

10. "A Precise Four-Quadrant Multiplier with Subnanosecond Response"

発祥

B. Gilbert氏が1968に発表

多分これ "A DC-500MHz amplifier/multiplier principle"

「トランスリニア」とは

トランスコンダクタンスがコレクタ電流に対し直線的に比例する（文献5）

「トランスコンダクタンス」とは

=相互コンダクタンス

入力電圧の変化がリニアに出力電流変化となって現れるアンプの利得（文献6）

$ g_\mathrm{m}=\frac{\Delta I_\mathrm{out}}{\Delta V_\mathrm{in}}

「コンダクタンス」は「レジスタンス（抵抗）」の逆

コンダクタンスはI/V、レジスタンスはV/I

バイポーラトランジスタの場合

https://gyazo.com/35773fc133811060828c2c8d7ee959b8

ベースエミッタ間電圧$ V_\mathrm{BE}を入力

コレクタ電流$ I_\mathrm{C}を出力とする

トランスコンダクタンス$ g_\mathrm{m}=\frac{\Delta I_\mathrm{C}}{\Delta V_\mathrm{BE}}

出力電流変化は厳密には直線ではないが、小信号の範囲で直線とみなす

バイポーラトランジスタは「ベースに流した電流の$ h_\mathrm{FE}倍がコレクタに流れる電流増幅素子」と説明されることがあるが、小信号等価回路では電圧制御、電流出力の素子として扱うのが通例（文献1）

「トランスリニア」とは（再掲）

トランスコンダクタンスがコレクタ電流に対し直線的に比例する（文献5）

$ g_\mathrm{m}=\frac{\Delta I_\mathrm{C}}{\Delta V_\mathrm{BE}}が$ I_\mathrm{C}に対し直線的に比例する、とは

コレクタ電流がx倍になると$ g_\mathrm{m}（接線の傾き）もx倍

$ g_\mathrm{m}=\alpha I_\mathrm{C}（$ \alphaは定数）となれば直線的に比例すると言える

バイポーラトランジスタの重要な動作特性式（文献1）

$ I_\mathrm{C}=I_\mathrm{S}\exp(V_\mathrm{BE}/V_T)

$ V_\mathrm{BE}=V_T\ln(I_\mathrm{C}/I_\mathrm{S})

$ I_\mathrm{S}は飽和電流。資料2では$ I_\mathrm{C}=I_\mathrm{EBS}e^{qV_\mathrm{BE}/kT}とあるので、$ I_\mathrm{S}=I_\mathrm{EBS}と見てよさそう。

$ I_\mathrm{S}=I_\mathrm{EBS}はコレクタ・ベース間を短絡（ショート）したときのエミッタ・ベース間遮断電流。

動作特性式より

$ g_\mathrm{m}=\frac{\partial I_\mathrm{C}}{\partial V_\mathrm{BE}}=\frac{I_\mathrm{C}}{V_T}

温度一定なら$ V_Tは定数だから、トランスコンダクタンスがコレクタ電流に対し直線的に比例する

この性質自体はトランジスタを使う限り自然と付いてくる

この性質をフル活用したのがトランスリニア回路

カレントミラー回路はトランスリニア回路でもある

カレントミラー回路：2つの経路に同じだけの電流を流す回路

https://gyazo.com/e3c9ec61258657f07a36f21b15e8094d

$ I_\mathrm{C2}=I_\mathrm{1}となることを期待する回路

オペアンプの内部回路に多用される他、こんな使いみちもある

汎用 4 ピンフォトカプラを使った MIDI 入力

回路図より$ V_\mathrm{BE1}=V_\mathrm{BE2}

動作特性式より

$ V_\mathrm{BE1}=V_T\ln(I_\mathrm{C1}/I_\mathrm{S})

$ V_\mathrm{BE2}=V_T\ln(I_\mathrm{C2}/I_\mathrm{S})

各トランジスタについて、一般には飽和電流の値は異なる。

リニアトランス回路では各トランジスタは特性が揃っていると仮定していて、すべての飽和電流を同じ値$ I_\mathrm{S}としている。

コレクタ電流に比べてベース電流は非常に小さいので0と近似すると$ I_\mathrm{C1}=I_\mathrm{1}

以上より

$ V_T\ln(I_\mathrm{1}/I_\mathrm{S})=V_T\ln(I_\mathrm{C2}/I_\mathrm{S})

$ I_\mathrm{1}=I_\mathrm{C2}

関数$ f(x)=ax^2の演算

https://gyazo.com/41c423822116d547a4bfa880b1b26a5e

文献1 図10 (a) を引用

電流はそれぞれ

$ I_\mathrm{C1}=I_\mathrm{C2}=I_\mathrm{i}

$ I_\mathrm{C3}=I_\mathrm{u}

$ I_\mathrm{C4}=I_\mathrm{o}

回路図より$ V_\mathrm{BE1}+V_\mathrm{BE2}=V_\mathrm{BE3}+V_\mathrm{BE4}

動作特性式より

$ V_\mathrm{BE1}+V_\mathrm{BE2}=V_T\{\ln(I_\mathrm{C1}/I_\mathrm{S})+\ln(I_\mathrm{C2}/I_\mathrm{S})\}=V_T\ln(I_\mathrm{i}^2/I_\mathrm{S}^2)

$ V_\mathrm{BE3}+V_\mathrm{BE4}=V_T\{\ln(I_\mathrm{C3}/I_\mathrm{S})+\ln(I_\mathrm{C4}/I_\mathrm{S})\}=V_T\ln(I_\mathrm{u}I_\mathrm{o}/I_\mathrm{S}^2)

以上から$ I_\mathrm{i}^2=I_\mathrm{u}I_\mathrm{o}

よって$ I_\mathrm{o}=I_\mathrm{i}^2/I_\mathrm{u}

トランスリニア回路の計算の一般化

電圧が上がる方向のトランジスタを1～n、

電圧が下がる方向のトランジスタをn+1～2nとし、

$ \sum_{i=1}^n V_\mathrm{BEi}=\sum_{i=n+1}^{2n}V_\mathrm{BEi}が成り立つとすると、

$ \sum_{i=1}^n V_T\ln(I_\mathrm{Ci}/I_\mathrm{S})=\sum_{i=n+1}^{2n} V_T\ln(I_\mathrm{Ci}/I_\mathrm{S})より$ \ln\left(\prod_{i=1}^n(I_\mathrm{Ci}/I_\mathrm{S})\right)=\ln\left(\prod_{i=n+1}^{2n}(I_\mathrm{Ci}/I_\mathrm{S})\right)

よって$ \prod_{i=1}^n I_\mathrm{Ci}=\prod_{i=n+1}^{2n}I_\mathrm{Ci}

乗除算回路

https://gyazo.com/868d6eb35c54cb5506ee8a0dc398e721

文献2 図7-3 をもとに部品番号を書き換えた

電流源IYはQ1のエミッタ側に付ける方が見た目が整って良い感じもするが……

回路図より$ V_\mathrm{BE1}+V_\mathrm{BE2}=V_\mathrm{BE3}+V_\mathrm{BE4}

すなわち$ I_\mathrm{C1}I_\mathrm{C2}=I_\mathrm{C3}I_\mathrm{C4}

ベース電流を0とすると

$ I_\mathrm{C1}=I_\mathrm{Y}

$ I_\mathrm{C2}=I_\mathrm{X}

$ I_\mathrm{C3}=I_\mathrm{0}

$ I_\mathrm{C4}=I_\mathrm{Z}

したがって

$ I_\mathrm{Z}=\frac{I_\mathrm{X}I_\mathrm{Y}}{I_\mathrm{0}}

$ I_\mathrm{X}と$ I_\mathrm{Y}を入力、$ I_\mathrm{0}を定数とすれば乗算になり、$ I_\mathrm{X}と$ I_\mathrm{0}を入力とすれば除算になる

この回路はそれぞれの電流は正しか取れない→第一象限のみの乗除算

関数$ f(x,y)=\sqrt{x^2-y^2}の演算

https://gyazo.com/ff91c10589afe0ff169de4573a3fd8b3

文献1 図11 を引用

電流はそれぞれ

$ I_\mathrm{x}=I_\mathrm{C1}+I_\mathrm{C3}

$ I_\mathrm{C1}の矢印の位置が悪い。Tr1のコレクタ電流だから分岐の後に書くべき。

$ I_\mathrm{C1}+I_\mathrm{y}=I_\mathrm{C2}

$ I_\mathrm{w}=2I_\mathrm{C4}=2I_\mathrm{C5}

また$ V_\mathrm{BE2}=V_\mathrm{BE3}より$ I_\mathrm{C2}=I_\mathrm{C3}

回路図より$ V_\mathrm{BE1}+V_\mathrm{BE2}=V_\mathrm{BE4}+V_\mathrm{BE5}

したがって$ I_\mathrm{C1}I_\mathrm{C2}=I_\mathrm{C4}I_\mathrm{C5}

以上より

$ I_\mathrm{x}=I_\mathrm{C1}+I_\mathrm{C2}

$ I_\mathrm{y}=I_\mathrm{C2}-I_\mathrm{C1}

$ I_\mathrm{C1}=(I_\mathrm{x}-I_\mathrm{y})/2

$ I_\mathrm{C2}=(I_\mathrm{x}+I_\mathrm{y})/2

$ I_\mathrm{C1}I_\mathrm{C2}=(I_\mathrm{x}^2-I_\mathrm{y}^2)/4

$ I_\mathrm{C4}I_\mathrm{C5}=I_\mathrm{w}^2/4

$ I_\mathrm{w}=\sqrt{I_\mathrm{x}^2-I_\mathrm{y}^2}

トランスリニア原理の応用：トランスリニアバイアス

https://www.ne.jp/asahi/evo/amp/TLB/TLBamp1.gif

この方式はプッシュプル回路の出力素子の電流の積が一定となるようにバイアス電圧を制御します。

《中略》

バイアス電圧の決定に必要な出力トランジスタのコレクタ電流の積を算出するトランスリニア回路はQ9,Q10,Q11,Q12の部分です。

文献8より引用

プッシュプル回路とは、NPN型TrとPNP型Trを用いて電流をPush/Pullする回路

「プッシュプル回路の出力素子」はQ19、Q20のこと

プッシュプル回路は、交流の上側ではNPNが動作でPNPが休み、下側ではNPNが休みでPNPが動作

NPNとPNPの動作の切り替わり点（交流の正負が入れ替わるところ、ゼロ点）でスイッチング歪みが発生する

Q19とQ20のコレクタ電流の積が一定

→動作の切り替わり点でQ19とQ20に一定の電流が流れる

→スイッチング歪みが抑えられる

トランスリニアバイアス回路の解析1

https://gyazo.com/43a8da93f9f8b673809a8c4bacb31bd2

文献8の回路図のトランスリニア回路部分を抜粋 + 電流を定義

各所の電流は

$ I_\mathrm{C9}=I_\mathrm{C10}

$ I_\mathrm{C11}+I_\mathrm{i}=I_\mathrm{C12}+I_\mathrm{o}

回路図より$ V_\mathrm{BE9}+V_\mathrm{BE10}=V_\mathrm{BE11}+V_\mathrm{BE12}

トランスリニア原理より$ I_\mathrm{C9}I_\mathrm{C10}=I_\mathrm{C11}I_\mathrm{C12}

$ I_\mathrm{C9}=\sqrt{I_\mathrm{C11}I_\mathrm{C12}}

この後どう解析していけば良いかよく分からない

回路作者によるシミュレーション

https://gyazo.com/a91f47de77ec3020e5ca8e369936d5a0

文献8より引用

Ic1はQ19のコレクタ電流、Ic2はQ20のコレクタ電流を表す

信号電圧V1が大きい（+20V）とき、Ic1が支配的、Ic2≒0

信号電圧V1が小さい（-20V）とき、Ic1≒0、Ic2が支配的

V1=0の点で、Ic1=Ic2>0

Io1は出力電流

Io1=Ic1-Ic2

Io1のグラフは綺麗な直線→スイッチング歪みが無い

実際の回路のQ9～Q12は、シミュレーション回路のQ3～Q6に相当しそう

でも実際の回路とシミュレーション回路で形が違うのが謎

https://gyazo.com/0ae20b13439e3c005f7b7913e5d6b169

トランスリニア原理の応用：

@bron84 2020年3月7日

AD604やAD8330はトランスリニア原理の応用例として有名

AD604 データシートおよび製品情報 | アナログ・デバイセズ

データシートを見てもトランジスタレベルの等価回路は載っておらず、トランスリニア回路になっていることを確認できなかった

四象限乗算回路（ギルバートセル）

https://gyazo.com/be1a33d262823df501a95a29bb876900

文献10 図1

$ I_\mathrm{OUT}が流れる抵抗器から生えたヒゲの正体は不明。論文と辻褄を合わせるためにこう解釈すると辻褄はあう。

https://gyazo.com/cd0755f76e26924ea466919ae85999bb

@loopxgain 午前9:48 · 2023年2月3日

これは抵抗がNウェルなどの正電源でバイアスされた領域の上(または中)にあるということだと思います。

Z=XYを計算する回路。$ X=2x-1, Y=2y-1として回路に入力する。

$ 0\le x\le 1, 0\le y\le 1とすれば$ -1\le X\le 1, -1\le Y\le 1

電流$ I_\mathrm{B}, I_\mathrm{E}は計算途中で消えるので任意の電流を設定すればよい。

回路図より$ V_\mathrm{BE1}-V_\mathrm{BE2}+V_\mathrm{BE3}-V_\mathrm{BE4}=0

トランスリニア原理より$ I_\mathrm{C1}I_\mathrm{C3}=I_\mathrm{C2}I_\mathrm{C4}

ベース電流を0と仮定すると$ xI_\mathrm{B}(yI_\mathrm{E}-I_\mathrm{C2})=I_\mathrm{C2}(1-x)I_\mathrm{B}

$ xyI_\mathrm{B}I_\mathrm{E}-xI_\mathrm{B}I_\mathrm{C2}=I_\mathrm{B}I_\mathrm{C2}-xI_\mathrm{B}I_\mathrm{C2}

$ I_\mathrm{C2}=xyI_\mathrm{E}

$ I_\mathrm{C3}=yI_\mathrm{E}-I_\mathrm{C2}=(1-x)yI_\mathrm{E}

同様に$ V_\mathrm{BE1}-V_\mathrm{BE5}+V_\mathrm{BE6}-V_\mathrm{BE4}=0より

$ I_\mathrm{C5}=x(1-y)I_\mathrm{E}

$ I_\mathrm{C6}=(1-x)(1-y)I_\mathrm{E}

したがって$ I_\mathrm{OUT}=I_\mathrm{C2}+I_\mathrm{C6}-I_\mathrm{C3}-I_\mathrm{C5}=\{xy+(1-x)(1-y)-(1-x)y-x(1-y)\}I_\mathrm{E}=XYI_\mathrm{E}

正規化された出力は$ Z=\frac{I_\mathrm{OUT}}{I_\mathrm{E}}=XY

ギルバートセルの回路を書き換えてみる

https://gyazo.com/f911521bba4be53b688ed88f0a5cd1ff

四象限乗算回路（文献2バージョン）

https://gyazo.com/58ec00a1b6e2a5daa0e04356cd8e7cac

文献2 図7-4 に部品番号等を記入、アンプ回路を具体化

トランジスターのコレクター電流とベース・エミッター間電圧の関係は(3.2.12)式より

$ I_\mathrm{C}=I_0\exp(qV_\mathrm{BE}/kT)

で与えられるので、$ Q_3, Q_4, Q_5, Q_6のコレクター電流は、ベース電圧変化$ \Delta V_1、$ \Delta V_2に対して

$ (I_3+I_5)-(I_4+I_6)=\frac{Y_1-Y_2}{R_\mathrm{Y}}\left(e^{q\Delta V_1/kT}-e^{q\Delta V_2/kT}\right)

となる。

どうしてそうなるのか分からない。

電圧は2点間で決まるもの。基準電位が示されていない場合、通常はGNDを基準とするはず。そう考えると$ \Delta V_1はGNDに対しての電圧変化のはずだ。

ベース・エミッタ間電圧によりコレクタ電流が決まるので、Q3のコレクタ電流はQ3のエミッタからみたベース電圧により決まる。

Q3のベース電位が$ \Delta V_1だけ変化したとき、エミッタ電位も変化するはずだから、その影響を加味しなければならない。

Q7のコレクタ電位を$ V_7とすれば、Q3の$ V_\mathrm{BE}の変化量は$ \Delta V_1-\Delta V_7と書ける。上記の数式にこのような議論が含まれておらず、わけがわからなくなった。

ギルバートセルの解析1

別方向から計算してみよう

ダイオードの電圧と電流の関係$ I_\mathrm{F}=I_\mathrm{S}(\exp(V_\mathrm{F}/V_T)−1)

電気的特性の見方 | 東芝デバイス＆ストレージ株式会社 | 日本

1を減じているのは0Vのときに0Aになることを表している？

ベース電流を無視すれば、抵抗Rに流れる電流は常に$ 2Iで一定。すなわちダイオードのアノード側電位は変化しない。

$ \Delta V_1の変動がそのまま$ V_\mathrm{F}の変化になるから、$ D_1の電流変化$ \Delta I_1を計算できる。

$ \Delta I_1=I_\mathrm{S}(\exp((V_0-V_1')/V_T)-1)-I_\mathrm{S}(\exp((V_0-V_1)/V_T)-1)

ただし$ V_0=V_\mathrm{CC}-2IR、$ V_1'=V_1+\Delta V_1、$ V_1は変化前のQ1のコレクタ電位

同様に

$ \Delta I_2=I_\mathrm{S}(\exp((V_0-V_2')/V_T)-1)-I_\mathrm{S}(\exp((V_0-V_2)/V_T)-1)

ただし$ V_2'=V_2+\Delta V_2、$ V_2は変化前のQ2のコレクタ電位

$ \Delta I_1+\Delta I_2=0より

$ \exp((V_0-V_1')/V_T)-\exp((V_0-V_1)/V_T)+\exp((V_0-V_2')/V_T)-\exp((V_0-V_2)/V_T)-4=0

ギルバートセルの解析2

$ V_7'=V_7+\Delta V_7とすると、Q3とQ4のコレクタ電流はそれぞれ

$ \Delta I_3=I_\mathrm{S}\exp((V_1'-V_7')/V_T)-I_\mathrm{S}\exp((V_1-V_7)/V_T)=I_\mathrm{S}\exp((V_1-V_7)/V_T)(\exp((\Delta V_1-\Delta V_7)/V_T)-1)

$ \Delta I_4=I_\mathrm{S}\exp((V_2-V_7)/V_T)(\exp((\Delta V_2-\Delta V_7)/V_T)-1)

Q7、Q8のコレクタ電流の総計は$ 2Iで一定。したがって$ I_3+I_4+I_5+I_6=2Iで一定。

$ Y_1と$ Y_2が一定だからQ7とQ8のコレクタ電流もそれぞれ変化しないはず。

したがって$ I_3+I_4=I+I_\mathrm{Y}、$ I_5+I_6=I-I_\mathrm{Y}で一定

すなわちQ3とQ4のコレクタ電流の変化量は差し引き0になる。$ \Delta I_3+\Delta I_4=0

$ \exp((V_1-V_7)/V_T)(\exp((\Delta V_1-\Delta V_7)/V_T)-1)+\exp((V_2-V_7)/V_T)(\exp((\Delta V_2-\Delta V_7)/V_T)-1)=0

ギルバートセルの解析3

仮に$ \Delta V_7=0とすると

$ \Delta I_3=I_\mathrm{S}\exp((V_1-V_7)/V_T)(\exp(\Delta V_1/V_T)-1)

$ \Delta I_4=I_\mathrm{S}\exp((V_2-V_7)/V_T)(\exp(\Delta V_2/V_T)-1)

$ \Delta I_3+\Delta I_4=0より

$ \exp(V_1/V_T)\{\exp(\Delta V_1/V_T)-1\}+\exp(V_2/V_T)\{\exp(\Delta V_2/V_T)-1\}=0

同様に$ \Delta V_8=0とすると

$ \Delta I_5=I_\mathrm{S}\exp((V_2-V_8)/V_T)(\exp(\Delta V_2/V_T)-1)

$ \Delta I_6=I_\mathrm{S}\exp((V_1-V_8)/V_T)(\exp(\Delta V_1/V_T)-1)

ギルバートセルの解析4

$ (I_3+\Delta I_3+I_5+\Delta I_5)-(I_4+\Delta I_4+I_6+\Delta I_6)

$ =I_\mathrm{S}\{(\exp((V_1'-V_7)/V_T)+\exp((V_2'-V_8)/V_T)-(\exp((V_2'-V_7)/V_T)+\exp((V_1'-V_8)/V_T)\}

ギルバートセルの解析5

Q7、Q8のエミッタ電位を$ V_\mathrm{E7}, V_\mathrm{E8}とおくと

$ I_\mathrm{Y}=\frac{V_\mathrm{E7}-V_\mathrm{E8}}{R_\mathrm{Y}}

Q7、Q8のコレクタ電流は$ I_\mathrm{C7}=I+I_\mathrm{Y}, I_\mathrm{C8}=I-I_\mathrm{Y}なので

$ I+I_\mathrm{Y}=I_\mathrm{S}\exp((Y_1-V_\mathrm{E7})/V_T)

$ I-I_\mathrm{Y}=I_\mathrm{S}\exp((Y_2-V_\mathrm{E8})/V_T)

ギルバートセルの解析6

ダイオードの電圧電流の関係は$ I_\mathrm{F}=I_\mathrm{S}(\exp(V_\mathrm{F}/V_T)−1)

-1は無視できて$ I_\mathrm{F}=I_\mathrm{S}\exp(V_\mathrm{F}/V_T)

25℃で$ V_T\approx 25.7 \mathrm{\,mV}であり、通常、$ V_\mathrm{F}はもっと大きなところで動作させる。

変形すると$ V_\mathrm{F}=V_T\ln(I_\mathrm{F}/I_\mathrm{S})

トランジスタの動作特性は$ V_\mathrm{BE}=V_T\ln(I_\mathrm{C}/I_\mathrm{S})

D1, Q3, Q4, D2 のループでトランスリニア原理を適用すると$ V_\mathrm{F1}+V_\mathrm{BE3}=V_\mathrm{BE4}+V_\mathrm{F2}

したがって$ I_\mathrm{F1}I_\mathrm{C3}=I_\mathrm{C4}I_\mathrm{F2}

$ (I+I_\mathrm{X})I_3=(I+I_\mathrm{Y}-I_3)(I-I_\mathrm{X})

$ I_3=\frac{(I-I_\mathrm{X})(I+I_\mathrm{Y})}{2I}

$ I_4=I+I_\mathrm{Y}-I_3=\frac{(I+I_\mathrm{X})(I+I_\mathrm{Y})}{2I}

同様に$ V_\mathrm{F1}+V_\mathrm{BE6}=V_\mathrm{BE5}+V_\mathrm{F2}

したがって$ I_\mathrm{F1}I_\mathrm{C6}=I_\mathrm{C5}I_\mathrm{F2}

$ (I+I_\mathrm{X})I_6=(I-I_\mathrm{Y}-I_6)(I-I_\mathrm{X})

$ I_6=\frac{(I-I_\mathrm{X})(I-I_\mathrm{Y})}{2I}

$ I_5=I-I_\mathrm{Y}-I_6=\frac{(I+I_\mathrm{X})(I-I_\mathrm{Y})}{2I}

以上より

$ (I_3+I_5)-(I_4+I_6)=\frac{-2I_\mathrm{X}I_\mathrm{Y}}{I}