Non-Wandering 力学系
$ (X, f)を位相空間上の連続写像による力学系とする。
定義 (non-wandering 点)
$ x\in Xがpseudo-non-wanderingであるとは、$ xの任意の開近傍$ Uに対して$ \exists n> 0s.t. $ f^n(U)\cap U \neq\emptyを満たすことを言う。
命題 (non-wandering 力学系の性質)
$ Xの全ての点$ xが pseudo-non-wandering のとき、$ xの任意の開近傍$ Uと任意の$ N>0に対して$ \exist n\geq Ns.t.$ f^n(U)\cap U \neq \empty。すなわち、$ Xの点は元々の位置の近くに何回でも任意の精度で戻ってくる。
(証明)
背理法で示す。すなわち pseudo-non-wandering な点$ x\in Xで、その開近傍$ Uに対し、 $ \exist N > 0 s.t. $ n\geq N \implies f^n(U)\cap U =\emptyが存在したと仮定する。$ xは pseudo-non-wandering なので $ \exists n_1 s.t. $ f^{n_1}(U)\cap U \neq \empty。ここで$ f^{n_1}(U) \subset \overline Uとすると$ V = f^{-n_1}(f^{n_1}(U)^{\circ}) \subset Uは開集合で$ \forall mに対し$ f^{n_1m}(V)\cap U \subset f^{n_1}(V)\neq \empty。よって背理法の仮定に反する。ゆえに$ W = f^{n_1}(U) \setminus \overline U\neq \empty。ゆえに$ U_1 = f^{-n_1}(W)\subset Uは空でない開集合で、$ t\in \{n_1,N,N+1,N+2,\dots\}に対して$ f^t(U_1)\cap U_1= \empty。全ての点が pseudo-non-wandering なので $ U_1に対して同じ議論を行うことで$ n_1と異なる$ n_2と開集合$ U_2\subset U_1であって、$ t\in\{n_1, n_2,N,N+1,\dots\}に対して$ f^t(U_2)\cap U_2=\emptyとなるものが構成できる。同様にして$ U_Nまで構成すると、これは空でない開集合であって$ \forall t>0に対して$ f^t(U_N)\cap U_N = \emptyを満たす。すなわち$ Uの点は pseudo-non-wandering ではない。しかしこれは$ Xの全ての点が pseudo-non-wandering であることに矛盾する。$ \square