確率微分方程式を解きたい！！
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2021年1月15日
1828年、ブラウンさんが微粒子のランダムな運動─ブラウン運動─を発見した。
1905年、アインシュタインがブラウン運動の理論付けをする。
ここで重要なのは、ブラウン運動では$ \Delta t秒後の粒子の変位の大きさ$ \Delta xは$ \sqrt{\Delta t}に比例すること。すなわち、$ b>0を比例定数とすると$ \Delta xは次のように表せる。
$ \Delta x= b\sqrt{\Delta t}.
ブラウン運動を数理モデル化したい→まずはランダム・ウォークから
数直線上の１点を考える。その点の時刻$ tでの座標を$ x_tと表す。$ x_0=0として、点は時刻が1増えるごとに座標を半々の確率で左に１もしくは右に１だけ移動するとする。この点の動きのモデルをランダム・ウォークという。数式で表すとこう
$ x_{t+1}=\begin{cases} x_t+1\hspace{2em} \text{確率}\frac{1}{2}\text{で} \\ x_t-1\hspace{2em} \text{確率}\frac{1}{2}\text{で} \end{cases}
別の表現も出来る。$ nを$ 0より大きい整数とし$ B_nを$ -1か$ 1の値になる全て互いに独立な($ B_1が$ 1だろうが$ -1だろうが$ B_2には何も関係がないということ)確率変数だとする。確率はどちらの場合も$ 1/2。このとき、$ x_tは$ B_nを使って
$ x_t = \sum^t_{k=1} B_k
と表せる。こうすると数式だけでバッチリ定義できるのでいろいろな計算がはかどる。
ランダム・ウォークのように確率変数が時刻によって値が変化するとき確率過程が定められているという。
ランダム・ウォークの性質
$ E[x_t]=0, V[x_t]=t
$ P(x_t=k)={}_tC_{\frac{t+k}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^2\hspace{2em}\left(-t\leq<k\leq t, \frac{t+k}{2}\in\mathbb{Z_{\geq0}}\right)
$ x_tと$ x_{t'}の差は時刻$ tに依存しない。
ランダム・ウォークにおける点の動く頻度を増やして、動く幅も狭くしたい→$ \Delta tの間に半々の確率で$ \pm\Delta xだけ動く。
つまり$ x_t=\sum^{n}_{k=1}(\Delta xB_k)=\Delta x\sum^{n}_{k=1}B_k\hspace{1em}(t=n\Delta t, n\in\mathbb{Z}).このとき
$ E\lbrack x_t\rbrack=0,\hspace{2em} V\lbrack x_t\rbrack=(\Delta x)^2n.
$ \Delta tと$ \Delta xをいい感じに限りなく$ 0に近づけたい。→とりあえず$ \Delta x=\Delta tでやってみるか。
そうすると、
$ V\lbrack x_t\rbrack=(\Delta t)^2 \frac{t}{\Delta t}=t\Delta t \to 0\hspace{2em}(\Delta t\to0)
となってしまい、$ x_t=0となる確率が$ 1になってしまう。う～んクソいね！
(超絶ハイパースーパー運よく右に進みつづけたりする場合もあるけどそんなものの確率は$ 0)
ここで、ブラウン運動の性質を思い出してみる。
ブラウン運動はなんか正の定数$ \sigmaを使って$ \Delta x=\sigma\sqrt{\Delta t}と書けるのでした。この関係を維持した状態で$ x_tの分散を考えると、
$ V\lbrack x_t\rbrack=(\sigma\sqrt{\Delta t})^2\frac{t}{\Delta t}=\sigma^2t.
いいかんじだ！！やったああああああああああ！！
こんな感じで$ \Delta x=\sigma\sqrt{\Delta t}という関係を保ったまま$ \Delta t\to 0に吹っ飛ばしたランダム・ウォークの極限をブラウン運動もしくはウィナー過程という。
$ x_tがどんな分布に従うかを考える。
$ x_t = \sum \Delta xB_kは確率変数$ B_kをたくさん足し合わせてるから、$ \Delta t\to0のとき中心極限定理がによって、平均$ 0、分散$ \sigma^2 tの正規分布$ N(0, \sigma^2t)に従う。
$ \sigma=1のときの$ x_tを確率変数っぽく$ Wもしくは$ W(t)と書くことにします。(標準ブラウン運動)
ブラウン運動の性質
証明は本買って読んで
1. $ E[W(s)W(t)]=\min\{s, t\} , $ E[(W(t)-W(s))^2]=|t-s|
2. 1.より$ E[(W(t+\Delta t)-W(t))^2]=\Delta t (ブラウン運動の$ \Delta xと$ \Delta tの関係が現れている)
3. $ Wは確率$ 1で$ tによって微分できないし、どんなに細かく時間を区切ってもいくらでも変化する。
4. 任意の$ 0\leq t_1< t_2< \cdots<t_nと任意の正の数$ a_1, a_2,\dots, a_nに対して
$ \sum^n_{k=1}a_kW(t_k)
は正規分布に従う。
5. $ X を分散$ \sigma^2 のブラウン運動とすると$ C[X(s), X(t)]=E[X(s)X(t)] - E[X(s)]E[X(t)]=\sigma^2\min\{s, t\}
性質 4. 5. が同時に満たされることとブラウン運動の定義は同値。
ブラウン運動の変換
ブラウン運動に適当な操作をしてもブラウン運動になることがある。
1. スケール変換:$ hW\left(\frac{t}{h^2}\right)\hspace{3em}(h>0は定数)
2. 差分: $ W(t+h)-W(h)\hspace{3em}(h>0は定数)
3. 時間反転: $ tW\left(\frac{1}{t}\right),W(0)=0\hspace{3em}(t>0)
4. 対称変換: $ -W(t)
2021年1月17日
確率過程$ X(t)が微小なブラウン運動$ dWによって$ dX = f(X, t, W)dWと表されるような状況がある。
このときに$ Xを求めるには$ \int_0^T f(t)\ dW(t)を計算する必要がある←なんやねんコレ
$ \int_0^Tf(t)dW(t) = \lim_{n\to\infty}\sum^{n-1}_{k=0}f(\xi_k)(W(t_{k+1})-W(t_k))
ただし、$ 0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T, \xi_k\in[t_k, t_{k+1}] .
普通の積分($ dW(t)が$ dxなやつ)だと$ \xi_kは適当に選んでも大体の$ f(t)に対しては値が収束するので良かった。
ところが、$ f(t)に$ W(t)とかを使うと$ \xi_kによって値が変わるので良くない←キレそう
そこで伊藤の積分(または確率積分)と呼ばれる積分の場合には$ \xi_kを区間の左端を選んだ場合をする。つまり
$ \int_0^T f(t)\ dW = \lim_{n\to\infty}\sum^{n-1}_{k=0}f(t_k)(W(t_{k+1}) - W(t_k))
と定義する。
計算する！
1. $ \int_0^T W(t)dW(t)=\lim_{n\to\infty}\sum^{n-1}_{k=0}W(t_k)(W(t_{k+1})-W(t_k))
$ =\lim_{n\to0}\left(\frac{1}{2}\sum^{n-1}_{k=0}\left\{W(t_{k+1})^2 - W(t_k)^2)\right\}-\frac{1}{2}\sum^{n-1}_{k=0}(W(t_{k+1})-W(t_k))^2\right)
$ =\frac{1}{2}W(T)^2-\frac{1}{2}\sum^{n-1}_{k=0}(t_{k+1}-t_k)=\frac{1}{2}W(T)^2 - \frac{1}{2}T
$ -\frac{1}{2}Tがあるのが普通の積分と違うところ。
2. $ \int_0^Tt\ dW(t)=\lim_{n\to\infty}\sum^{n-1}_{k=0}t_k(W(t_{k+1})-W(t_k))
$ =\lim_{n\to\infty}\left(\sum^{n-1}_{k=0}(t_{k+1}W(t_{k+t})-t_kW(t_k)) - \sum^{n-1}_{k=0}W(t_{k+1})(t_{k+1} - t_{k})\right)
$ = TW(T) - \int_0^TW(t)dt
定義通りにやるのもおおおおおおおおおおおおやだあああああああああああああ！！！！！！←伊藤の公式を使え
2021年1月18日
よく使う確率過程に伊藤過程がある。それは次のような確率微分方程式を満たす確率過程$ X(t)。
$ dX = f(t, X, W)dt + g(t, X, W)dW
この伊藤過程を表す確率微分方程式を解くのに使えるのが伊藤の公式
伊藤の公式
$ F(t, X)をいい感じに滑らかな2変数関数とする。($ Xは伊藤過程)
このとき、$ F(t, X)は次の確率微分方程式を満たす。
$ dF = \left(\frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial X}f(t, X, W) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}g(t, X, W)^2\right)dt + \frac{\partial F}{\partial X}g(t, X, W)\ dW
$ \because$ Fを$ tと$ Xの二つの変数でマクローリン展開すると、
$ \begin{aligned}dF = &\frac{\partial F}{\partial t}dt + \frac{\partial F}{\partial X}dX + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}dt^2 + \frac{\partial^2 F}{\partial X\partial t}dtdX + \frac{\partial^2 F}{\partial X^2}dX^2 + \cdots \\ = &\frac{\partial F}{\partial t}dt + \frac{\partial F}{\partial X}(f(t, X, W)dt + g(t, X, W)dW) \\+ & \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}dt^2 + \frac{\partial^2 F}{\partial X\partial t}dt(f(t, X, W)dt + g(t, X, W)dW) + \frac{\partial^2 F}{\partial X^2}(f(t, X, W)dt + g(t, X, W)dW)^2 + \cdots \end{aligned}
ここで一次より小さい微小量を無視する。つまり$ dt^2 = 0,\ dtdW=dt^{1.5}=0とすると次のようになる。ただし、$ dW^2は$ dtとなるのでこれは残す。
$ \therefore dF = \frac{\partial F}{\partial t}dt + \frac{\partial F}{\partial X}f(t, X, W)dt + \frac{\partial F}{\partial X}g(t, X, W)dW + \frac{\partial^2 F}{\partial X^2}g(t, X, W)^2dW^2.
最後に$ dW^2 = dtと置き換えて整理すれば、
$ dF = \left(\frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial X}f(t, X, W) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}g(t, X, W)^2\right)dt + \frac{\partial F}{\partial X}g(t, X, W)\ dW
を得る。 □
伊藤の公式の使い道
$ F(t, X)=Xとする、つまり$ Fを$ dXを伊藤積分したものだとすると、伊藤の公式から
$ dX=dF = f(t, X, W)dt + g(t, X, W)dW
となる。つまり、伊藤積分したものの"全微分"的な奴は元々の形に戻るということ。逆にいれば、$ F(X)を全微分した結果が分かれば、その結果を使って伊藤積分ができる。
(比較: 微分積分学の基本定理 $ dF = d\int f(x)dx = f(x)dx)
例題
$ \int_0^T W\ dWを解く。
$ dX = 0dt + 1dW = dW、つまり$ X = Wと置いて、$ F(t, X) = X^2 (= W^2)とする。
伊藤の公式から
$ dF = dt + 2XdW = dt + 2WdW
$ W dW = \frac{1}{2}dF - \frac{1}{2}dt
両辺を積分すれば
$ \begin{aligned}\int^T_0 W\ dW &= \frac{1}{2}\int_0^TdF - \frac{1}{2}\int_0^T dt \\ &= \frac{1}{2}(F(T, X) - F(0, X)) - \frac{1}{2}T \\ &= \frac{1}{2}(W(T)^2 - W(0)^2) - \frac{1}{2}T \\ &= \frac{1}{2}W(T)^2 - \frac{1}{2}T\hspace{7em}\square\end{aligned}
2021年2月6日
次の確率微分方程式を満たす確率過程$ X(t)を求める。($ aと$ bは定数)
$ dX = aX dt + bX dW
両辺を$ Xで割ると
$ \frac{dX}{X}=a dt + b dW
左辺を積分すると$ \log Xっぽい。ので$ F(t, X)=\log Xと置く。この$ Fに伊藤の公式を適用すると
$ \begin{aligned} dF &= \left(\frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial X}f(t, X, W) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}g(t, X, W)^2 \right)dt + \frac{\partial F}{\partial X}g(t, X, W) dt \\ &= \left(0 + \frac{1}{X}(aX) + \frac{1}{2}(-\frac{1}{X^2})(b^2X^2)\right)dt + \frac{1}{X}(bX)dW \\ &= \left(a - \frac{b^2}{2}\right)dt + bdW \end{aligned}
両辺を積分すると
$ \begin{aligned}\int F dF &= \int \left( a - \frac{b^2}{2} \right)dt + \int b dW \\ F &= \left(a-\frac{b^2}{2}\right)t + bW(t) + F|_{t=0} \end{aligned}
$ F=\log Xより$ X_0 = e^{F|_{t=0}}として、両辺に$ e^\squareを作用させれば
$ X(t) = X_0\ e^{\left(a-\frac{b^2}{2}\right)t}\ e^{bW(t)} \hspace{3em} \square
$ X(t)はBlack–Scholes過程や幾何ブラウン運動と呼ばれたりする。
調子が良いので次の確率微分方程式も解いてみる。
$ dX = -aX dt + b dW
$ dWの項を無視すると$ dX=-aXdtで$ X=e^{-at}、つまり$ Xe^{at}=1。簡単そうなので$ F=Xe^{at}と置いて伊藤の公式を適用すると、
$ \begin{aligned} dF &= (aXe^{at} - aXe^{at})dt + b\ e^{at}dW \\ &= b\ e^{at} dW\end{aligned}
両辺を積分すれば
$ Xe^{at} = X_0 + b\int_0^t e^{as}dW(s)
よって、$ Xについて整理すれば
$ X(t) = X_0\ e^{-at} + b\int_0^t e^{a(s-t)}dW(s)
上記の確率微分方程式に平均$ \muのパラメータを付与した$ dX = -a(\mu-X)dt + bdWを満たす確率過程$ X(t)はOrnstein–Uhlenbeck過程や平均回帰過程と呼ばれる。