エルゴード理論ガバガバ勉強メモ

エルゴード理論の本を読んで「すげえなー」とか「これは覚えておくべきだなー」みたいなものを雑にまとめます。

参考文献: Ergodic Theory: with a view towards Number Theory (Manfred Einsiedler, Thomas Ward)

エルゴード理論に登場する基礎概念

測度空間

いい感じの部分集合の重さが測れる空間のこと。

$ (X, \mathscr{B}, \mu)と書いたら$ Xが全体集合、$ \mathscr{B}\subset 2^Xが重さを測れるいい感じの部分集合全体(σ加法族)、$ \mu:\mathscr{B}\to\mathbb{R}が重さを測る関数(測度)。詳しくは測度論の授業や本で勉強しよう！

可測写像

$ f:(X,\mathscr{A}, \mu)\to(Y, \mathscr{B}, \nu)が可測

$ :\iff \forall B\in\mathscr{B},\ f^{-1}(B)\in\mathscr{A}

つまり、可測集合の逆像も可測集合になる写像のことを可測写像という。連続の定義とおんなじ感じ。

積分

$ f:(X,\mathscr{A}, \mu)\to(Y, \mathscr{B}, \nu)の$ X上での積分は、気持ち的には

$ \int_Xfd\mu:=\int_\mathbb{Y}\mu(\chi_{f^{-1}(y)}).

詳しくは測度論の授業や本で勉強しよう！

測度保存力学系

測度空間$ (X, \mathscr{B}, \mu)上の力学系$ T:X\to Xが測度を保存する

$ :\iff \forall B\in\mathscr{B},\ \mu(T^{-1}(B)) = \mu(B)

つまり、逆像の測度が変わらない変換のこと。像ではないので注意。

回転

単位円$ S^1上に角度を座標として入れる(ただし、値の範囲は$ x \mod 1とかを使って$ [0,1)に正規化する)。また、ルベーグ測度的なやつも入れておく。

この時、$ S^1上の変換$ T(x):=x+\alpha\hspace{1.5em} (\alpha\in\mathbb{R})は測度を保存する。

この結果はコンパクト群にHaar測度を入れたものに対して一般化できるらしい。

倍角

$ S^1上の変換$ T_2(x):=2xは測度を保存する。

なぜなら$ B\in\mathscr{B}に対して$ T_2^{-1}(B)は幅が$ 1/2、個数が倍に増えるから測度が元の$ Bと一致するため。

$ 2を適当な整数に置き換えても同様の結果が起こる。

この結果はコンパクト群とそれ上の全射準同型に対して一般化できる。

あと2文字の記号列の集合$ \Sigma_2上のシフト写像に対してもいい感じに測度を入れると同じ結果が得られる。(位相共役なのでそれはそう)

保測変換の言い換え

$ f:X\to\mathbb{R}が有界な可測写像のとき$ f\in\mathscr{L}^{\infty}と表すことにする。

$ T:X\to Xが測度$ \muを保存する。

$ \iff \forall f\in\mathscr{L}^\infty,\ \int f\ d\mu = \int f\circ T\ d\mu

(証明)

$ (\impliedby):

$ f=\chi_Bと置いて両辺を計算する。

$ (\implies):

$ Tは測度を保存するので$ \chi_Bの積分値は$ Tを合成して積分しても不変。

よって単関数に対しても積分値は変わらない。そこで$ fを単関数で近似して単調収束定理を適用すればOK。

(実際は$ fは非負値可積分関数とし、可積分じゃないなら両辺無限大でハッピーって感じ)

準同型, 同型

$ (X, \mathscr{B}_X, \mu, T)と$ (Y, \mathscr{B}_Y, \nu, S)を確率空間上の保測系とする。

1. 系$ Sが$ Tの準同型 (英語: factor) とは$ \mu(X')=\nu(Y')=1,\ TX'\subset X',\ SY'=Y'なる$ X'\in\mathscr{B}_X,\ Y'\in\mathscr{B}_Yと測度を保存する写像$ \phi:X'\to Y'が存在して、

$ \phi\circ T(x) = S\circ\phi(x)\hspace{2em}\forall x\in X'.

2. 系$ Sが$ Tと同型であるとは、$ Sが$ Tの要素でかつ、全単射な保測写像$ \phi:X'\to Y'が存在して、

$ \phi\circ T(x)=S\circ\phi(x)\hspace{2em}\forall x\in X'.

注意: 測度論では零集合は無視するので上の定義の$ X'とか$ Y'をそれぞれ$ X,\ Yと同一視してしまうことが多々ある。つまり、準同型を次の図式を果敢にする保測写像$ \phi:X\to Yであると雑に考える。ただし、$ \phiは$ X内の全ての点で定義されている必要はなく、ほとんど至る所で定義されていれば十分である。

https://gyazo.com/e2889eca7bddf932d7d5ddeb554f0826

$ Tから$ Sへの準同型$ \phiが可換にするべき図式

準同型、Introduction to Chaotic Dynamical Systemsにおける位相共役と同じじゃんTotti95U.icon

準同型$ T\to Sは系$ Sの拡張とも解釈できる。

測度空間$ Yが一点からなるときその準同型は自明であるという。

$ \phiが測度空間の同型写像のとき、拡張は自明であるという。

倍角写像とシフト写像は同型

上の通り。

連分数のやつ

2:1の写像$ T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}を$ x\ne 0に対しては

$ T(x):=\frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{x}\right)

とし、$ T(0):=0とする。

このとき、任意の可測関数$ fに対して$ y=T(x)を代入すれば

$ \int_{-\infty}^\infty f(T(x))\frac{dx}{\pi(1+x^2)} = \int_{-\infty}^\infty f(y)\frac{dy}{\pi(1+y^2)}

が成り立つ。

よって測度保存の言い換えより$ Tは

$ \mu(\left(a, b\right))=\int_a^b\frac{dx}{\pi(1+x^2)}

で定義される確率測度$ \muを保存する。

また、$ \mathbb{R}から$ S^1への写像$ \phi(x)=\frac{1}{\pi}\arctan x +\frac{1}{2}は(ほとんど至るところ)可逆な測度保存写像である。また$ T_2を$ S^1上の倍角写像とすると$ \phiは$ Tと$ T_2の間の同型写像となる。

Poincare の回帰定理

$ T:X\to Xを確率空間$ (X, \mathscr{B}, \mu)上の測度保存変換とする。また、$ E\subset Xを可測集合とする。このときほとんど全ての点$ x\in Eは$ Eに無限回戻る。すなわち、ある可測集合$ F\sub Eで$ \mu(F)=\mu(E)かつ性質「全ての点$ x\in Fに対して点$ T^{n_1}x, T^{n_2}x, T^{n_3}x,\dotsが全て$ Eに入るような整数$ 0<n_1<n_2<n_3<\cdotsが存在する」を満たすものが存在する。

(証明)

$ B=\{x\in E\mid\forall n\geq 1,\ T^nx\not\in E\}とする。このとき、

$ B=E\cap T^{-1}(X\setminus E)\cap T^{-2}(X\setminus E)\cap \cdots

であるから、$ Bは可測集合。今、任意の$ n\geq 1に対して

$ T^{-n}B=T^{-n}E\cap T^{-n-1}(X\setminus E)\cap\cdots

であるから集合$ B, T^{-1}B, T^{-2}B,\dotsは互いに素かつ$ Tは測度を保存するので測度は全て$ \mu(B)である。

今$ Xは確率空間で$ \sum_{n=0}^{\infty}T^{-n}B \sub Xより$ \sum_{n=0}^\infty\mu(B) = \sum_{n=0}^{\infty}\mu(T^{-n}B)\leq\mu(X)=1.

よって$ \mu(B) = 0。よって$ \mu(F_1)=\mu(E)かつ全ての点が$ Tの反復で少なくとも一回は$ Eに戻るような集合$ F_1が存在する。同様に整数$ n\geq2に対して$ \mu(F_n)=\mu(E)かつ全ての点が$ T^nの反復で少なくとも一回$ Eに戻るような集合$ F_nが存在する。このとき集合

$ F=\bigcap_{n\geq1} F_n\subset E

の測度は$ \mu(F)=\mu(E)であり(※)$ Fの全ての点は$ Tの反復により$ Eに何度でも戻る。$ \square

※について: $ F_1\supset F_2\supset F_4\supset F_8\supset\cdotsである。このとき$ F_{2^\infty}=\bigcap_{n\geq1}F_{2^n}に対し測度の基本性質から$ \mu(F_{2^{\infty}})=\lim_{n\to\infty}\mu(F_{2^n})=\mu(E)であり、$ F_{2^\infty}\subset F\subset Eより$ \mu(E)\leq\mu(F)\leq(E)を得る。

回帰定理は全体測度が有限の場合にのみ適用できる。

回帰定理が成り立たない例

写像$ T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}を$ T(x)=x+1により定義する。$ Tは明らかにLebesgue測度を保存する。しかし、任意の有界集合$ E\sub\mathbb{R}と任意の$ x\in Eに対して、

$ \{n\geq 1\mid T^nx=x+n\in E\}

は有限である。よって$ Tは回帰を示さない。

回帰定理が成り立つ状況(特に可測集合族がBorel集合族の場合)では、全ての点は$ Tの反復によっていくらでも元の場所に近いところに戻ることがわかる。

注意: 測度が無限だと回帰定理が成り立たないから基本的には有限測度 i.e. 確率空間しか扱わないけど、測度が無限のときのエルゴード理論もちゃんと確立されてるから気になったら調べてくれよな！って書いてあった。

エルゴード性

確率空間$ (X, \mathscr{B}, \mu)の保測変換$ T:X\to Xが任意の$ B\in\mathscr{B}に対して

$ T^{-1}B=B\implies\mu(B)=0 \text{ or }\mu(B)=1

が成り立つとき変換$ Tはエルゴード的であるという。

エルゴード性はエルゴード理論における分解不可能性の自然な概念である。とくに、全ての保測変換はエルゴード的成分に分解できる(すごい後で証明)。一方、位相力学系の分解不可能性の概念である最小性(minimality)ではそのようなことは一般には出来ない。

エルゴード性の言いかえ

$ (X, \mathscr{B}, \mu)の保測変換$ T:X\to Xに対し、次は同値。

1. $ Tはエルゴード的

2. 任意の$ B\in\mathscr{B}に対し、$ \mu(T^{-1}B\triangle B)=0 \implies \mu(B)=0 \text{ or }\mu(B)=1 (a.e. 一致でも変わらんということ)

3. 任意の$ A\in\mathscr{B}に対し、$ \mu(A)>0\implies \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}T^{-n}A\right)=1 (どんなちっさいのを変換し続けても全体になっちゃう)

4. 任意の$ A, B\in\mathscr{B}に対し、$ \mu(A)\mu(B)>0\implies\exist n\geq1\text{ s.t. }\mu(T^{-n}A\cup B)>0(どんなちっさい2つをとっても変換し続ければグチャグチャになる)

5. 可測関数$ f:X\to\mathbb{C}に対し$ f\circ T=f,\ \mu\text{-a.e.}\implies \exist c\in\mathbb{C}\text{ s.t. } f=c,\ \mu\text{-a.e.} (定数関数以外は合成するとグチャグチャになる)

4. で$ A=BのときはPoincareの回帰定理である。

(証明)

$ (1)\implies(2):$ Tはエルゴード的と仮定する。$ Bを$ \mu(T^{-1}B\triangle B)=0と仮定する(almost invariant)。$ Bから不変集合$ Cを作りたい。そこで

$ C=\bigcap_{N=0}^{\infty}\bigcup_{n=N}^{\infty}T^{-n}B.

とする。

このとき、任意の$ N\geq0に対して

$ B\triangle \bigcup_{n=N}^{\infty}T^{-n}B \sub \bigcup_{n=N}^{\infty}B\triangle T^{-n}B

であり、全ての$ n\geq1に対し$ \mu(B\triangle T^{-n}B)=0である。ゆえに$ B\triangle T^{-n}Bの部分集合である

$ \bigcup_{i=0}^{n-1}T^{-i}B\triangle T^{-(i+1)}B,

の測度は$ 0である。

$ C_N=\bigcup_{n=N}^{\infty}T^{-n}Bとすると$ C_0\sub C_1\sub\cdotsかつ各$ Nに対し$ \mu(C_N\triangle B)=0。

ここから$ \mu(C\triangle B)=0がわかり故に$ \mu(C)=\mu(B)。さらに言えば

$ T^{-1}C=\bigcap_{N=0}^\infty\bigcup_{n=N}^\infty T^{-(n+1)B} = \bigcap_{N=0}^\infty\bigcup_{n=N+1}^\infty T^{-n}B = C

したがって$ T^{-1}C=Cであり、エルゴード性から$ \mu(C)=0\text{ or }1であり$ \mu(B)=0\text{ or }1。

$ (2)\implies(3):$ \mu(A)>0とする。$ B=\bigcup_{n=1}^{\infty}T^{-n}Aとすれば$ T^{-1}B\sub B。一方$ \mu(T^{-1}B) = \mu(B)であるから$ \mu(T^{-1}B\triangle B)=0。よって$ (2)より$ \mu(B) = 0 \text{ or }1。いま$ T^{-1}A\sub Bより前者は不可能である。よって$ \mu(B) = 1。

$ (3)\implies(4):$ A, Bは正の測度を持つとする。$ (3)より

$ \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty T^{-n}A\right) = 1.

よって

$ 0<\mu(B) = \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty B\cap T^{-n}A\right)\leq\sum_{n+1}^\infty\mu(B\cap T^{-n}A).

すなわち、ある$ n\geq 1が存在して$ \mu(B\cap T^{-n}A) > 0。

$ (4)\implies(1):$ T^{-1}A=Aとする。このとき全ての$ n\geq1に対して

$ 0=\mu(A\cap X\setminus A) = \mu(T^{-n}A\cap X\setminus A).

よって$ (4)の対偶より$ \mu(A)=0 \text{ or }\mu(X\setminus A)=0.

$ (2)\implies(5):$ (2)とエルゴード性は同値であるから$ Tはエルゴード的である。$ f:X\to\mathbb{C}をステートメントの意味で$ T不変な可測関数とする。このとき関数の実部と虚部はそれぞれ不変でないといけないから$ fが実関数のときについて考えればよい。

$ k\in\mathbb{Z}と$ n\geq1を固定し、$ A_n^k=\left\{x\in X\mid f(x)\in\left\lbrack\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right)\right\}とする。このとき$ fの不変性から$ T^{-1}A\triangle Aは零集合であるから、$ (2)より

$ \mu(A_n^k)\in\left\{0, 1\right\}.

今、各$ nに関して$ X=\bigsqcup_{k\in\mathbb{Z}}A_n^kであるから$ \exist!\ k=k(n)\text{ s.t. }\mu(A_n^{k(n)}) = 1.このとき$ fは集合

$ Y=\bigcap_{n=1}^\infty A_n^{k(n)}

上で定数であり$ \mu(Y)=1である。よって$ fはほとんど至るところで定数。

$ (5)\implies(2): $ \mu(T^{-1}B\triangle B)=0ならば$ f=\chi_Bは$ T不変可測関数である。よって$ (5)より$ \chi_Bはほとんど至るところで定数。つまり$ \mu(B)は$ 0か$ 1.　　$ \square

シフト写像はエルゴード的

$ \sigmaをシフト写像とする($ X=\{0,1,\dots,n\}^\mathbb{Z}上の保測変換だった)。このとき与えられた$ \varepsilon\in (0, 1)に対して筒集合の有限合併$ Aで$ \mu(A\triangle B)<\varepsilonとなるものが存在する。ゆえに$ |\mu(A)-\mu(B)|<\varepsilon。これは

$ A = \{x\in X\mid x|_{\lbrack-N,\ N\rbrack}\in F\}

と書けるような$ Nと有限集合$ F\sub\{0,1,\dots,n\}^{\lbrack-N,\ N\ \rbrack}が存在することを意味する($ \lbrack a, b\rbrack\cap\mathbb{Z}の略記として$ a, bと書いてます)。これは$ M>2Nに対して、

$ \sigma^{-M}(A)=\{x\in X\mid x|_{\lbrack M-N, M+N \rbrack}\in F\}

であることを意味する。ゆえに

$ \mu(\sigma^{-M}A\setminus A)=\mu(\sigma^{-M}A\cap X\setminus A) = \mu(\sigma^{-M}A)\mu(X\setminus A)=\mu(A)\mu(X\setminus A).

$ Bは$ \sigma不変なので$ \mu(B\triangle \sigma^{-1}B)=0。よって

$ \mu(\sigma^{-M}A\triangle B) = \mu(\sigma^{-M}A\triangle\sigma^{-M}B) = \mu(A\triangle B)<\varepsilon

であり三角不等式から$ \mu(\sigma^{-M}A \triangle A)<2\varepsilon。従って

$ \mu(\sigma^{-M}A\triangle A) = \mu(A\setminus\sigma^{-M}A)+ \mu(\sigma^{-M}A\setminus A)< 2\varepsilon.

以上より

$ \begin{aligned}\mu(B)\mu(X\setminus B) &< (\mu(A)+\varepsilon)(\mu(X\setminus A)+\varepsilon) \\ &= \mu(A)\mu(X\setminus A) + \varepsilon\mu(A) + \varepsilon\mu(X\setminus A) + \varepsilon^2 \\ &< \mu(A)\mu(X\setminus A) + 3\varepsilon < 5\varepsilon. \end{aligned}

$ \varepsilonは任意だったので$ \mu(B)\mu(X\setminus B)=0よってシフト変換$ \sigmaはエルゴード的。

倍角写像はエルゴード的

倍角写像$ T_2:S^1\to S^1 はシフト写像$ \sigma:\{0, 1\}^{\mathbb{N}}\to \{0, 1\}^{\mathbb{N}} と同型だった。エルゴード性は同型な系同士で共有されるので$ T_2もエルゴード的である。