空間

数学における「空間」とは、単なる点の集まり（集合）に、何らかの「構造」（ルールや関係性）を追加したもの

この「構造」によって、点同士の関係や全体の形を議論できるようになっている

空間を構成する2つの要素

集合 (Set) foundational element

これは「点」の集まり

空間の材料となる、最も基本的な要素

ただ点が集まっているだけで、点同士の位置関係や距離といった概念はない

構造 (Structure) defining characteristic

集合に特定のルールや意味づけをする

この構造によって、点の「近さ」、図形の「形」、変換の「連続性」などを数学的に扱うことができる

具体的な「空間」の例

ユークリッド空間 (Euclidean Space)

構造: 距離と角度

点と点の間の距離や、線と線のなす角度が定義されている

ピタゴラスの定理が成り立つ世界

例: 2次元平面 (R^2)、3次元空間 (R^3)

構造: 足し算とスカラー倍

「ベクトル」という矢印のようなものが集まった世界

ベクトル同士を足したり、定数倍して伸縮させたり

位相空間 (Topological Space)

構造: 点の近さ（連続性）

「どの点がどの点の近くにあるか」という、非常に柔軟な「近さ」の情報だけを持つ

距離のように具体的な数値で測るのではなく、「つながり方」に着目する

コーヒーカップとドーナツが「同じ形」と見なされたり

図形の本質的な性質を調べたりするのに使われる

確率空間 (Probability Space)

構造: 確率

説明: 起こりうる全ての事象（結果）の集合に、「確率」という「起こりやすさ」の構造を追加したもの

ギャンブルや統計学などの不確実な現象を数学的に分析できる