ベクトル空間

ベクトルを「足し算」したり「スカラー（実数など）倍」したりできる、特定のルールを満たす集合のこと。このルールのおかげで、幾何学的な直感をデータや関数など様々な対象に広げて考えることができる。

構成要素

ベクトル (Vector)

主役となる要素。

例：平面上の矢印、(x, y, z) のような数の組、多項式、関数など。

スカラー (Scalar)

ベクトルを伸縮させるための「数」。

通常は実数または複素数が使われる。

守るべき基本ルール（公理）

ベクトル空間は、以下の性質を持つ「閉じた」世界である。

演算で閉じている

空間内のどのベクトルを持ってきて足し算・スカラー倍しても、結果は必ずその空間の中に収まる。

和（足し算）に関するルール

交換できる: v + w = w + v

足す順番は自由: (u + v) + w = u + (v + w)

ゼロベクトル 0 が存在する: v + 0 = v

逆元 -v が存在する: v + (-v) = 0

スカラー倍に関するルール

分配法則が成り立つ: c(v + w) = cv + cw

スカラー 1 は何も変えない: 1v = v