コンパクト

ざっくり意味

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コンパクトとは，ざっくり言うと「開集合で全体を覆うと，実は有限個で十分」となるような空間・集合のことです。

なぜコンパクトを考えるか

「コンパクト」を考えるメリットとして，以下の2つの定理が成立することが挙げられます。

ちなみに，この定理はユークリッド空間 Rで成立する2つの性質：

・有界閉区間上の連続関数は，最大値・最小値を持つ

→最大値・最小値の定理

・有界閉区間上の連続関数は一様連続

→関数の連続性と一様連続性

を一般の位相空間に拡張したものです。「コンパクト」という概念のおかげで定理を簡潔に表せます。