とあるゲームの経験値の計算

nレベルからn+1レベルになるのに必要な経験値を関数$ f(n)を用いて次のように表す。

$ f(0) = 0

$ f(n+1) = f(n)+100n

$ fの一般項は

$ f(n)=0+100+200+300+…+100n=100\sum^n_k k=100(n(n+1)/2)

これの第n部分和$ S(n)を求めると(これがそのレベルになるのに必要な経験値を表すのは明らかである)

$ S(n)=\sum_k^n f(k)=50 \sum_k^n (k^2+k)

となる。

計算すると

$ S(n) = 50\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right)

気合で計算すると

$ S(n) = 50\left(\frac{n}{6}\times(n+1)\times(2n+1+3)\right)=\frac{50n(n+1)(n+2)}{3}

$ S(n) = Xとおいてこのときのnを求める。