集中荷重をかけた張り出し梁

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図が汚すぎる……

紙に手書きするしかないかあ……

$ M(x)=\max\left\{-\frac12Px,P(x-\frac32l)\right\}

$ =-\frac12Px+\max\left\{0,\frac32P(x-l)\right\}

$ M(x)=-EIv''(x)

$ v''=\frac12\frac{P}{EI}x+\frac1{EI}\min\left\{0,\frac32P(l-x)\right\}

$ v(0)=v(l)=0

$ \sout{v'=\frac14\frac{P}{EI}x^2+\frac1{EI}\min\left\{0,-\frac34P(l-x)^2\right\}+C}

ここでミスってる

$ \min\left\{0,-\frac34P(l-x)^2\right\}=-\frac34P(l-x)^2

になっておかしなことになる

$ v'=\frac14\frac{P}{EI}x^2-\frac34\frac{P}{EI}(l-x)^2\llbracket x\ge l\rrbracket+C

$ v=\frac1{12}\frac{P}{EI}x^3+\frac14\frac{P}{EI}(l-x)^3\llbracket x\ge l\rrbracket+Cx+D

定数の決定

$ v(0)=0+0+0+D=0

$ \therefore D=0

$ v(l)=\frac1{12}\frac{P}{EI}l^3+0+Cl+0

$ \therefore C=-\frac1{12}\frac{P}{EI}l^2

$ \therefore v=\frac1{12}\frac{P}{EI}(x^2-l^2)x+\frac14\frac{P}{EI}(l-x)^3\llbracket x\ge l\rrbracket

$ \therefore v'=\frac1{12}\frac{P}{EI}(3x^2-l^2)-\frac34\frac{P}{EI}(l-x)^2\llbracket x\ge l\rrbracket

他の決定方法

$ \because v(0)=v(l)\iff\int_0^lv'(x)\mathrm{d}x=0

検証がめんどくせー

$ \therefore \max v=v(\frac{l}{\sqrt3})=\frac1{12}\frac{P}{EI}(\frac13-1)l^2\frac{l}{\sqrt3}=-\frac1{18\sqrt3}\frac{P}{EI}l^3

主要点の値

$ v'(0)=\frac{1}{12}\frac{P}{EI}(0-l^2)+0=-\frac{1}{12}\frac{P}{EI}l^2=-\frac{4}{48}\frac{P}{EI}l^2

$ v'(l)=\frac1{12}\frac{P}{EI}(3l^2-l^2)+0=\frac1{12}\frac{P}{EI}\cdot2l^2=\frac16\frac{P}{EI}l^2=\frac{8}{48}\frac{P}{EI}l^2

$ v'(\frac32l)=\frac1{12}\frac{P}{EI}(\frac{27}{4}l^2-l^2)=\frac{23}{48}\frac{P}{EI}l^2

$ \argmax v=\frac{1}{\sqrt3}l

$ \max v=-\frac1{18\sqrt3}\frac{P}{EI}l^3