陰函数定理
$ fの陰函数$ \varphiの微分を$ fの微分で表せるという定理 $ f(x,\varphi(x))=0\implies\varphi'(x)=-\left.\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right|_{y=\varphi(x)}
直感的な説明
$ f(x,\varphi(x))=0\quad\text{.for }\forall x
$ \implies(f(x,\varphi(x)))'=0
$ \iff\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{y=\varphi(x)}+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{y=\varphi(x)}\varphi'(x)=0
$ \iff\varphi'(x)=-\left.\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}\right|_{y=\varphi(x)}
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定理
$ \R^nに通常の位相を入れた位相空間を$ \mathbf R^nとする $ \mathbf R^nの位相を$ \mathcal O(\mathbf R^n)とする
この時以下が成立する
$ \forall m,n\in\N\forall\Omega\in\mathcal O(\mathbf R^{m+n})\forall\bm f:\Omega\to\R^n\forall \bm a\in\R^m\forall\bm b\in\R^n:
$ \begin{dcases}\det\left.\frac{\partial\bm f(\bm x,\bm y)}{\partial\bm y}\right|_{(\bm x,\bm y)=(\bm a,\bm b)}\neq0\\\bm f\text{は連続微分可能}\end{dcases}\implies\exist U\in\mathcal O(\mathbf R^m)_{\ni\bm a}\exist V\in\mathcal O(\mathbf R^n)_{\ni\bm b}\exist!\bm\varphi:U\to V:\begin{dcases}U\times V\subseteq\Omega\\\forall (\bm x,\bm y)\in U\times V:(\bm f(\bm x,\bm y)=\bm 0\iff\bm y=\bm\varphi(\bm x))\\\bm\nabla\bm\varphi(\bm x)=-\left.\left(\frac{\partial\bm f}{\partial\bm y}\right)^{-1}\frac{\partial\bm f}{\partial\bm x}\right|_{\bm y=\bm\varphi(\bm x)}\end{dcases}
$ n=1の時は、$ \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(\bm x,y)=(\bm a,b)}\neq0となる
例
$ f:(x,y)\mapsto x^2+y^2-r^2
$ m=1,n=1となる
$ \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(\bm x,y)=(\bm a,b)}\neq0\iff |a|\neq r
つまり、$ U\subseteq \R\setminus\{-r,r\}で陰函数が存在する
$ U,Vに応じて陰函数が一つずつ存在する。例えば
$ V=\R_+のとき$ \varphi:\R\setminus\{-r,r\}\ni x\mapsto\sqrt{r^2-x^2}\in\R_+
$ V=\R_-のとき$ \varphi:\R\setminus\{-r,r\}\ni x\mapsto-\sqrt{r^2-x^2}\in\R_-
いずれも$ |x|=rで微分不可能なことがわかる
$ \varphi'(\pm r)が発散してしまう
証明