複素指数函数の指数法則
$ \forall z,w\in\Bbb{C};e^ze^w=e^{z+w}
$ \forall n\in \Bbb{Z}\forall z\in\Bbb{C};\left(e^{z}\right)^n=e^{zn}
実数の場合と同様の法則が成り立つ
導出
2つ方法がある
実数での指数法則と組めば、任意の複素数での指数法則を導出できる
和の指数法則
積の指数法則
de Moivreの定理$ \forall n\in \Bbb{Z}\forall\theta\in\Bbb{R};\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}と実数での指数法則を組み合わせれば求まる $ \begin{aligned}\forall n\in\Bbb{Z}\forall z\in\Bbb{C};\\\left(e^z\right)^n&=\left(e^{\mathrm{Re(z)+i\mathrm{Im}(z)}}\right)^n\\&=\left(e^{\mathrm{Re}(z)}e^{i\mathrm{Im}(z)}\right)^n\\&=\left(e^{\mathrm{Re}(z)}\right)^n\left(e^{i\mathrm{Im}(z)}\right)^n\\&=e^{n\mathrm{Re}(z)}e^{in\mathrm{Im}(z)}\\&=e^{n\mathrm{Re}(z)+in\mathrm{Im}(z)}\\&=e^{zn}\end{aligned}
$ \forall n\in\Bbb{Z}\forall z,w\in\Bbb{C};(zw)^n=z^nw^nを使っている
$ z^n=\underbrace{zz\cdots z}_{n}を使っていいなら成立する
和の指数法則も使っている