積の積分
以下、takker.iconがアレンジを加えたversion
方針
$ \mathrm{d}(fg) = f\mathrm{d}g + g\mathrm{d}f
$ \iff f\mathrm{d}g = \mathrm{d}(fg) - g\mathrm{d}f
基本
$ \mathrm{d}G := g\mathrm{d}xとする
$ \int fg\mathrm{d}x = \int f\mathrm{d}G = \int \mathrm{d}(fG) - \int G\mathrm{d}f
$ fに微分しやすい函数を持って来るのがポイント
最終的に$ fと$ Gを入れ替えたことになる
函数をひっくり返すようなイメージを持つと計算しやすい
例
$ \int xe^x\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}(e^x) = \int \mathrm{d}(xe^x) - \int e^x\mathrm{d}x
$ x\mathrm{d}(e^x)の$ xと$ e^xとを交換して、積分しやすい$ e^x\mathrm{d}xの形に持ち込むことができた
あとは普通に積分してやればよい。
$ = xe^x - e^x + C \quad\mathrm{.for}\ \exist C \in \mathbb{R}
$ \int x\cos x\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}(\sin x)
$ = \int \mathrm{d}(x\sin x) - \int \sin x\mathrm{d}x
$ = x\sin x + \cos x + C \quad \mathrm{.for}\ \exist C\in\mathbb{R}
$ \int \ln x\mathrm{d}x=\int \mathrm{d}(x\ln x) - \int x\mathrm{d}(\ln x)
すでに$ \int f\mathrm{d}G の状態であると見なして計算している
$ \ln xの積分はわからないけど微分はわかるから$ xと交換して微分させた
対数函数の積分はこれが一番わかりやすい(自画自賛)takker.icon $ = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\mathrm{d}x
$ = x\ln x - x + C \quad \mathrm{.for}\ \exist C\in\mathbb{R}