真ん中をひねった単純梁

https://kakeru.app/920896739c665d426a80b11a58632d9d https://i.kakeru.app/920896739c665d426a80b11a58632d9d.svg

支点反力は以下のように求めた

$ \begin{dcases}0=V_1+V_2\\0=M-lV_2\end{dcases}

$ \iff V_1=-V_2=-\frac{M}{l}

たわみを求める

準備

$ m:=\frac{1}{2}l

$ \hat{x}:=\begin{dcases}\frac{x}{|x|}\quad&\mathrm{if}\ x\neq0\\0\quad&\mathrm{if}\ x=0\end{dcases}

梁の中心をx軸原点にとる

曲げmoment

$ \begin{aligned}M &=\begin{dcases}-\frac{M}{2m}(x+m)\quad&\mathrm{if}\ x < 0\\-\frac{M}{2m}(x-m)\quad&\mathrm{if}\ 0\le x\end{dcases}\\&=-\frac{M}{2m}(x-\hat{x}m)\end{aligned}

$ v'' = \frac{M}{2mEI}(x-\hat{x}m)

たわみ角

$ v' = \frac{M}{4mEI}(x^2-2|x|m) + C_0

たわみ角が連続函数であることを用いた

たわみ

$ v = \frac{M}{12mEI}(x^3-3x|x|m) + C_0x+C_1

境界条件から定数を求める

$ v(\pm m)=0

$ \begin{aligned}\iff 0=&\frac{M}{12mEI}(\pm m^3 \mp3m^3)\pm C_0m+C_1\\=&\frac{M}{12mEI}(\mp 2m^3)\pm C_0m+C_1\end{aligned}

$ \iff \begin{dcases}\frac{Mm^2}{6EI}=C_0m\\0=C_1\end{dcases}

$ \iff \begin{dcases}C_0=\frac{2Mm}{12EI}\\C_1=0\end{dcases}

$ \begin{dcases}v = \frac{M}{12mEI}x(x^2-3|x|m+2m^2)\\v'=\frac{M}{12mEI}(3x^2-6|x|m+2m^2)\end{dcases}_{\large\blacksquare}

検算も兼ねて各点の値を求める

$ v'(\pm m)=\frac{M}{12mEI}(3m^2-6m^2+2m^2)=-\frac{Mm}{12EI}

$ v'(0)=\frac{Mm}{6EI}

両端よりひねっている箇所の方がたわみ角が大きい

$ v'\left(\pm m\left(1-\frac{1}{3}\sqrt{3}\right)\right)=0

たわみの値を求めるのは流石に面倒だな……