流体の運動量保存則（レベル２）①：平板に衝突する噴流の影響を学ぶ！
https://www.youtube.com/watch?v=BZZRZtSOAwM
質問コメントがついてる
この回の授業になったら先生に聞いてるか
2022-06-17 15:32:29 答えられそうだったので返信しといた
内容
https://kakeru.app/4030ddd7c9bd4d0c3c6eb0117ddf489a https://i.kakeru.app/4030ddd7c9bd4d0c3c6eb0117ddf489a.svg
条件
非粘性流れ
摩擦は無視する
同一平面上の流れ
重力の影響を無視する
基底の定義
$ \pmb{e}_h:=\cos\theta\pmb{e}_x-\sin\theta\pmb{e}_y
流線(図灰色)に沿ってエネルギー収支を立てる
$ Q_0=Q_1+Q_2 (連続の式)
$ \frac12\rho{v_0}^2+\rho gz_0+p_0=\frac12\rho{v_1}^2+\rho gz_1+p_1(上の流線に対するBernouillの定理)
$ \frac12\rho{{v_0}'}^2+\rho g{z_0}'+{p_0}'=\frac12\rho{v_2}^2+\rho gz_2+p_2(下の流線に対するBernouillの定理)
条件
$ z_0=z_1={z_0}'=z_2(同一平面上の流れ)
$ v_0={v_0}'(断面にて流速は一様)
$ p_0=p_1={p_0}'=p_2=0(外気と接触している)
噴流発生部を$ 0と$ 0'とで分けているのはなぜだろう？takker.icon
$ \pmb{F}=F\pmb{e}_y(非粘性流れ)
ただし、$ F:=|\pmb{F}|
平板に垂直な方向にしか反力が働かない
上記を組むと、$ v_0=v_1={v_0}'=v_2が導かれる
噴流領域の運動量収支を立てる
$ \rho Q_0v_0\pmb{e}_h+\pmb{F}=\rho Q_1v_1\pmb{e}_x-\rho Q_2v_2\pmb{e}_x
$ p_0=p_1={p_0}'=p_2=0なので圧力項は無視している
$ \iff\rho Q_0v_0\pmb{e}_h+\pmb{F}=\rho Q_1v_0\pmb{e}_x-\rho Q_2v_0\pmb{e}_x
$ \iff\pmb{F}=\rho v_0((Q_1-Q_2)\pmb{e}_x-Q_0\pmb{e}_h)
$ =\rho v_0(Q_1(\pmb{e}_x-\pmb{e}_h)-Q_2(\pmb{e}_x+\pmb{e}_h))
$ \iff \begin{dcases}F&=\rho Q_0v_0\sin\theta\\0&=\rho v_0(Q_1(1-\cos\theta)-Q_2(1+\cos\theta))\end{dcases}
$ \iff \begin{dcases}F&=\rho Q_0v_0\sin\theta\\Q_1(1-\cos\theta)&=Q_2(1+\cos\theta)\end{dcases}
$ \underline{\iff \begin{dcases}F&=\rho Q_0v_0\sin\theta\\Q_1&=\frac12(1+\cos\theta)Q_0\\Q_2&=\frac12(1-\cos\theta)Q_0\end{dcases}\quad}_{\blacksquare}
$ \because Q_0=Q_1+Q_2より
$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\mat{Q_0\\0}=\mat{1&1\\1-\cos\theta&-1-\cos\theta}\mat{Q_1\\Q_2}
$ \iff\def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\mat{Q_1\\Q_2}=\frac12\mat{1+\cos\theta&1\\1-\cos\theta&-1}\mat{Q_0\\0}
確認
$ \thetaを具体化する
$ \theta=0
$ \pmb{F}=\pmb{0}\land Q_1=Q_0\land Q_2=0
平板が噴流と平行になるので、全く力が働かなくなる
噴流は逆流しないので、断面II方向に流れは働かない
$ \theta=\frac12\pi
$ \pmb{F}=\rho Q_0v_0\pmb{e}_y\land Q_1=Q_2=\frac12Q_1
ちょうど平板が噴流と垂直になるので、対称性より双方向へ同じ流量だけ流れる
力は噴流とちょうど正反対の向きになる