整列集合は全順序集合

証明

$ \forall A\in2^X\setminus\{\varnothing\}\exist m\in A\forall x\in A:m\le x

$ \implies\forall x,y\in X:\exist m\in\{x,y\}\forall n\in\{x,y\}:m\le n

$ \iff\forall x,y\in X:\exist m\in\{x,y\}:m\le x\vee y

$ \iff\forall x,y\in X:x\vee y\le x\vee y

$ \iff\forall x,y\in X:x\le y\lor y\le x