微小ひずみと曲率半径の関係

初等梁において、材軸方向の垂直微小ひずみ$ \varepsilon_{xx}と曲率半径$ Rには次式が成立する

$ \varepsilon_{xx}=\frac yR

$ y：曲げに直交する方向に鉛直下向き正としてとった座標

初等梁理論の微小変形の仮定を用いているので、線型関係となる

導出

梁の材軸方向に微小要素をとる

変形前

https://scrapbox.io/files/68aa9292850492f476b51ea3.svg

中立面は$ \varepsilon_{xx}=0なので、変形前後で変わらない

変形後

https://scrapbox.io/files/68aa93124c240b2a028847be.svg

$ R：中立面の曲率半径

$ \varepsilon_{xx}を求める。

変形後の幾何学的関係より

$ (1+\varepsilon_{xx})\mathrm dx=(R+y)\mathrm d\theta

$ yは符号付きの値なので、単に足すだけで問題ない

$ \mathrm dx=R\mathrm d\theta

2式より

$ 1+\varepsilon_{xx}=\frac{R+y}{R}

$ =1+\frac yR

$ \underline{\iff\varepsilon_{xx}=\frac yR\quad}_\blacksquare

なお、$ y軸を上向き正にとると

$ \varepsilon_{xx}=\frac yR

になる