対称tensor成分

共変成分表示もしくは反変成分表示したとき、左上から右下に引いた対角線に対して線対称の位置にある対称tensorの成分は等しくなる

proof

$ \forall \sf Eについて

$ \pmb{A}=\pmb{A}^\top

$ \underline{\implies [\pmb{A}]^{\sf EE}_{ij}=[\pmb{A}]^{\sf EE}_{ji}\quad\text{.for }\forall i,j\quad}_\blacksquare

混合成分の場合、正規直交基底なら$ \sf E=\bar Eなので同じく成立する

一般の混合成分では非成立

$ \because \pmb{e}_i\cdot\pmb{A}\cdot\bar{\pmb{e}}_j=\bar{\pmb{e}}_j\cdot\pmb{A}^\top\cdot\pmb{e}_i\neq\pmb{e}_j\cdot\pmb{A}^\top\cdot\bar{\pmb{e}}_i