対数螺旋の極方程式を導出する
対数螺旋の極方程式は、$ r,\thetaを用いて$ r=\left.r\right|_{\theta=0}e^{a\theta}\quad\text{.for }\exists a\in\Rと表される この極方程式が対数螺旋の条件と等しいか確認する
対数螺旋の条件
対数螺旋上の任意の点Aについて、原点とAを通る直線とAでの接線との角度が常に一定になる
平行ではない
これを☆とする
式で表す
2次元平面上の任意の点を位置vectorで$ \pmb{r}と表す
自然基底$ \pmb{e}_r,\pmb{e}_\thetaの用意
$ \pmb{e}_r:=\frac{\partial\pmb{r}}{\partial r}=\cos\theta\pmb{e}_x+\sin\theta\pmb{e}_y=\hat{\pmb{r}}
$ \pmb{e}_\theta:=\frac{\partial\pmb{r}}{\partial\theta}=-r\sin\theta\pmb{e}_x+r\cos\theta\pmb{e}_y
$ |\pmb{e}_\theta|=|r|に注意
$ \pmb{e}_r\bot\pmb{e}_\thetaとなる
ここで、$ \pmb{e}_x,\pmb{e}_yは適当な正規直交基底とした
ある曲線$ Cが$ f:\R\to\Rを使って$ r=f(\theta)で表される時、$ \pmb{r}\in Cでの接vectorは$ \frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}\theta}になる
$ \frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}\theta}=\pmb{e}_\theta+\pmb{e}_r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}=\pmb{e}_\theta+f'(\theta)\pmb{e}_r
よって、条件☆は以下のように定式化できる
$ \hat{\pmb{r}}\cdot\hat\frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}\theta}=b\quad\text{.for }\exists b\in\rbrack-1,1\lbrack ー(A)
ここで、$ \hat\bullet:=\begin{dcases}\frac{\bullet}{|\bullet|}&\text{if }|\bullet|\neq0\\0&\text{otherwise}\end{dcases}とした
条件(A)と極方程式$ r=\left.r\right|_{\theta=0}e^{a\theta}\quad\text{.for }\exists a\in\R(ー(B))が同値であることを示す
$ \text{(A)}\iff\hat{\pmb{r}}\cdot\hat\frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}\theta}=b\quad\text{.for }\exists b\in\rbrack-1,1\lbrack
$ \iff \frac{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}}{\sqrt{r^2+\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2}}=b\quad\text{.for }\exists b\in\rbrack-1,1\lbrack
$ \because\frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}\theta}=\pmb{e}_\theta+\pmb{e}_r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}
$ |\pmb{e}_\theta|=|r|に注意
$ \iff \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2=r^2b^2+b^2\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2\land\hat\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}=\hat{b}\quad\text{.for }\exists b\in\rbrack-1,1\lbrack
$ \iff \left(1-b^2\right)\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2=r^2b^2\land\hat\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}=\hat{b}\quad\text{.for }\exists b\in\rbrack-1,1\lbrack
$ \iff \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2=\frac{b^2}{1-b^2}r^2\land\hat\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}=\hat{b}\quad\text{.for }\exists b\in\rbrack-1,1\lbrack
$ \forall\pmb{x},\pmb{y};|\hat{\pmb{x}}\cdot\hat{\pmb{y}}|\le1なので、$ 1-b^2>0は保証されている
$ \iff \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}=\frac{b}{\sqrt{1-b^2}}r\quad\text{.for }\exists b\in\rbrack-1,1\lbrack
$ rは原点からの距離なので$ r\ge0
$ \iff \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}=ar\quad\text{.for }\exists a\in\R
$ \because \rbrack-1,1\lbrack\ni x\mapsto\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\in\Rは全単射
$ \iff r=\left.r\right|_{\theta=0}e^{a\theta}\quad\text{.for }\exists a\in\R
$ \iff \text{(B)}
$ \therefore\text{(A)}\iff\text{(B)}
参考：(B)から(A)を求める
$ \text{(B)}\implies\exists a\in\R;\hat{\pmb{r}}\cdot\hat\frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}\theta}=\pmb{e}_r\cdot\hat\frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}\theta}
$ =\frac{\pmb{e}_r\cdot(\pmb{e}_\theta+a\pmb{r})}{\sqrt{r^2+a^2r^2}}
$ \because\frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}\theta}=\pmb{e}_\theta+\pmb{e}_r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}=\pmb{e}_\theta+\pmb{e}_r\left.r\right|_{\theta=0}ae^{a\theta}=\pmb{e}_\theta+a\pmb{r}
$ =\frac{0+\pmb{e}_r\cdot ar\pmb{e}_r}{r\sqrt{1+a^2}}
$ \because
$ r\ge0なので絶対値記号は要らない
$ \pmb{e}_r\bot\pmb{e}_\theta
$ = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}
$ \implies\exists a\in\R;\hat{\pmb{r}}\cdot\hat\frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}\theta}=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}
$ \iff \exists b<1\forall \theta\in\R;\left|\hat{\pmb{r}}\cdot\hat\frac{\mathrm{d}\pmb{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|=b
$ \because \R\ni x\mapsto\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\in\rbrack-1,1\lbrackは全単射
$ \therefore \text{(B)}\implies\text{(A)}