完全微分が存在する必要十分条件
2変数の場合
任意の2変数函数$ a_x,a_yに対して、
$ \mathrm d\phi=a_x(x,y)\mathrm dx+a_y(x,y)\mathrm dyを満たす完全微分$ \mathrm d\phi(x,y)が存在する$ \iff\frac{\partial a_x}{\partial y}=\frac{\partial a_y}{\partial x} 証明
$ \exist\phi:\frac{\partial\phi}{\partial x}=a_x\land\frac{\partial\phi}{\partial y}=a_y
$ \implies\exist\phi:\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}=\frac{\partial a_x}{\partial y}=\frac{\partial a_y}{\partial x}
$ \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}を仮定している
$ \implies\frac{\partial a_x}{\partial y}=\frac{\partial a_y}{\partial x}
$ \iff\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\int a_x\mathrm dx}{\partial y}=\frac{\partial a_y}{\partial x}
$ \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}を仮定している
$ \iff\exist A:\frac{\partial\int a_x\mathrm dx}{\partial y}=a_y+A(y)
$ \iff\exist A:\frac{\partial}{\partial y}\left(\int a_x\mathrm dx-\int A(y)\mathrm dy\right)=a_y
$ \iff\exist\psi:\frac{\partial}{\partial y}\left(\int a_x\mathrm dx-\psi(y)\right)=a_y
$ \iff\exist\psi:\frac{\partial}{\partial x}\left(\int a_x\mathrm dx-\psi(y)\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\int a_x\mathrm dx\right)=a_x\land\frac{\partial}{\partial y}\left(\int a_x\mathrm dx-\psi(y)\right)=a_y
$ \underline{\iff\exist\phi:\frac{\partial\phi}{\partial x}=a_x\land\frac{\partial\phi}{\partial y}=a_y\quad}_\blacksquare
3変数の場合
n変数には一般化できない？