勾配の極座標成分の導出
求めたいもの
極座標の基底$ \mathsf{R}:=(\pmb{e}_r,\pmb{e}_\theta) における勾配$ \pmb{\nabla}\phi の成分表示$ [\pmb{\nabla}\phi]^\mathsf{R} 方針
ちょうど正規直交基底$ E:=(\pmb{e}_0,\pmb{e}_1) での成分が$ \pmb{\nabla}\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x_0}\pmb{e}_0+\frac{\partial\phi}{\partial x_1}\pmb{e}_1 と既知なので、この成分からの変換を試みる
手順
1. 偏微分の分母を$ (x_0,x_1)から$ (r, \theta)に変換する式を導く
変換式に行列があらわれる
2. $ \sf Eの基底vectorを$ \sf Rの基底vectorに変換する行列を導く
$ x_0=r\cos\theta\land x_1=r\sin\thetaを使う
3. $ [\pmb{\nabla}\phi]^\mathsf{E}_i\pmb{e}_i に代入して$ [\pmb{\nabla}\phi]^\mathsf{R} を導く
https://kakeru.app/18bdf18056ce319af313ebb04a83564c https://i.kakeru.app/18bdf18056ce319af313ebb04a83564c.svg