三角測量の調整計算

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上図の角0~7の値を列vectorにまとめたもの

$ \bm{\nu}(i) := \bm{\theta}(i+1) - \bm{\theta}(i)

$ i\in\{0,\cdots,7\}

このとき、以下が成立する

$ \bm{\nu}(i) = \mathbf{A}(i)\mathbf{C}(i)^{-1}\bm{\omega}(i)

なお、各記号は以下のように定義される

$ \bm{\omega}(i):=\begin{pmatrix}\sum_j\theta_j(i)-2\pi\\\theta_0(i)+\theta_1(i)-\theta_4(i)-\theta_5(i)\\\theta_2(i)+\theta_3(i)-\theta_6(i)-\theta_7(i)\\\sum_j(-1)^{j}\ln\sin\theta_j(i)\end{pmatrix}

$ c_j(i):=\cot\theta_j(i)

$ \bm{A}(i)=-\begin{pmatrix}1&1&0&c_0(i)\\1&1&0&-c_1(i)\\1&0&1&c_2(i)\\1&0&1&-c_3(i)\\1&-1&0&c_4(i)\\1&-1&0&-c_5(i)\\1&0&-1&c_6(i)\\1&0&-1&-c_7(i)\\\end{pmatrix}

$ \bm{C}(i)=\begin{pmatrix}8&0&0&\sum_j c_j(i)(-1)^j\\0&4&0&c_0(i)-c_1(i)-c_4(i)+c_5(i)\\0&0&4&c_2(i)-c_3(i)-c_6(i)+c_7(i)\\\sum_j c_j(i)(-1)^j&c_0(i)-c_1(i)-c_4(i)+c_5(i)&c_2(i)-c_3(i)-c_6(i)+c_7(i)&\sum_j c_j(i)^2\\\end{pmatrix}

導出過程