イプシロン・デルタに強くなりたい人のために
解答つき
takker.iconはこのノートでε-δ論法の計算を学んだ 解説はあまり参考にならなかった
$ \forall \varepsilon>0\exist\delta>0\forall x\in A;(f(x)<\delta\implies g(x)<\varepsilon)を導出する方針
1. 条件$ g(x)<\varepsilonを導ける論理式$ P(f(x),\varepsilon)を見つける
$ P(f(x),\varepsilon)\implies g(x)<\varepsilon
$ Pは$ xを$ f(x)の形以外では含まない
大抵は$ f(x)<p_0(\varepsilon)\land f(x)<p_1(\varepsilon)\land\cdots\land f(x)<p_n(\varepsilon)という形になる
2. 条件$ (f(x)<h(\varepsilon)\implies P(f(x),\varepsilon))\land h(\varepsilon)>0を満たす$ h(\varepsilon)を見つける
$ hは式中に$ xを含まない
$ Pが複数の不等式の論理積で構成されている場合、$ f(x)<\alpha\land f(x)<\beta\iff f(x)<\max\{\alpha,\beta\}と一つにまとめることができる
$ \forall\varepsilon>0\forall x\in A;(f(x)<h(\varepsilon)\implies g(x)<\varepsilon)
$ \iff\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\begin{dcases}\delta=h(\varepsilon)\\\forall x\in A;(f(x)<\delta\implies g(x)<\varepsilon)\end{dcases}
$ \underline{\implies\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in A;(f(x)<\delta\implies g(x)<\varepsilon)\quad}_\blacksquare
例：$ \forall \varepsilon>0\exist\delta>0\forall x\in\R;(0<|x-2|<\delta\implies |x^2-4|<\varepsilon)を示す
1. $ |x^2-4|=|x-2||x+2|
$ \le|x-2|(|x-2|+|4|)
$ \because |x+2|=|x-2+4|\le|x-2|+|4|
ここから$ <\varepsilonへ変形するために必要な論理式を探す
いろいろ作って試してみるとよい
今回は$ |x-2|<1\land|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}を使うことにする
他にも使える論理式は無数にある
$ |x-2|(|x-2|+|4|)<\frac\varepsilon5(1+4)=\varepsilon
$ \therefore|x-2|<1\land|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}\implies |x^2-4|<\varepsilon
2. $ \maxでまとめる
$ 0<|x-2|<\max\left\{1,\frac\varepsilon5\right\}\implies0<|x-2|<1\land|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}\implies |x^2-4|<\varepsilon
$ \therefore \forall\varepsilon>0\forall x\in\R;\left(0<|x-2|<\max\left\{1,\frac\varepsilon5\right\}\implies |x^2-4|<\varepsilon\right)
3. おわり
$ \underline{\therefore\forall \varepsilon>0\exist\delta>0\forall x\in\R;(0<|x-2|<\delta\implies |x^2-4|<\varepsilon)\quad}_\blacksquare
解釈(書きかけ)
$ \exist h:\R_+\to\R_+\forall\varepsilon>0\forall x\in A;(0<|x-a|<h(\varepsilon)\implies |f(x)-b|<\varepsilon)の形が説明しやすいかも
$ h：要求精度を満たす$ xの範囲を求める函数
「ある要素$ Sと$ Tが近い」ことを、「2者の差を(0以外の)任意の距離にまで縮める方法が存在する」と表現している
集合による解釈
2022-04-20
07:27:24 これまた解いてみたいな～
2021-04-07
e.g.
https://kakeru.app/e6d82960d1c3b0311471e5129241f57a https://i.kakeru.app/e6d82960d1c3b0311471e5129241f57a.svg
やっべ思い出せん。忘れてる
答えみたら思い出した
問題量が豊富だったのが助かった