すっごく丁寧に剪断力と曲げmomentの関係式を求める
https://kakeru.app/3dcdce31c87bf84ce0a3c9368acf296e https://i.kakeru.app/3dcdce31c87bf84ce0a3c9368acf296e.svg
記号の定義
$ Tはy軸に垂直な面
$ Sはx軸に垂直な面
$ Oは回転支点
O点まわりの力のmomentの釣合いと力の釣合いを立てる
$ \begin{dcases}H=\color{red}{\iint_S\sigma_{xx}(y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z}\\V=\textcolor{orange}{\iint_Tq_o\mathrm{d}z\mathrm{d}x}+\color{skyblue}{\iint_S\sigma_{xy}(y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z}\\0=\iint_S(a\sigma_{xy}(y,z)-y\sigma_{xx}(y,z))\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\color{orange}{\iint_Txq_0\mathrm{d}z\mathrm{d}x}\end{dcases}
$ S上でxは$ x=aという定数のみしかとれないので、予め$ aを代入しておく
色分けは図の色と対応している
軸力$ N:=\color{red}{\iint_S\sigma_{xx}(y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z}、剪断力$ Q:=\color{skyblue}{\iint_S\sigma_{xy}(y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z}、曲げmoment$ M:=\iint_Sy\sigma_{xx}(y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z、を使うと、
$ \iff\begin{dcases}H=N\\V=q_0ab+Q\\0=\iint_Sa\sigma_{xy}(y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-M+\frac{1}{2}q_0a^2b\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}H=N\\V=q_0ab+Q\\0=a{\color{skyblue}{\iint_S\sigma_{xy}(y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z}}-M+\frac{1}{2}q_0a^2b\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}H=N\\V=q_0ab+Q\\0=aQ-M+\frac{1}{2}q_0a^2b\end{dcases}
ここから$ Mと$ Qの関係だけ取り出す
$ \implies \mathrm{d}M=(Q+bq_0a)\mathrm{d}a
あれ？$ \mathrm{d}M=Q\mathrm{a}になるはずなんだけど……？takker.icon
数式だけだとこんがらがってくる
図を追加しよう
あと応力tensorの成分の従属変数を明示すべき
$ \sigma_{xy}は何に依存している？