tensor演算のみで2階tensorを対角化する
すでに固有値$ \lambda_iと固有vector$ \pmb p_iが求まっているとする
このとき
$ \pmb{T}\cdot\pmb{p}_i=\lambda_i\pmb{p}_i\quad\text{.for }\forall i
$ \iff\pmb{T}\cdot\pmb{p}_i\bar{\pmb{p}}_i=\lambda_i\pmb{p}_i\bar{\pmb{p}}_i\quad\text{.for }\forall i
$ \implies\sum_i\pmb{T}\cdot\pmb{p}_i\bar{\pmb{p}}_i=\sum_i\lambda_i\pmb{p}_i\bar{\pmb{p}}_i
$ \iff \pmb{T}\cdot\pmb{I}=\sum_i\lambda_i\pmb{p}_i\bar{\pmb{p}}_i
$ \because\{\pmb{p}_0,\pmb p_1,\cdots,\pmb p_{n-1}\}が線型独立なら$ \sum_i\pmb{p}_i\bar{\pmb{p}}_i=\pmb{I}
$ \underline{\iff \pmb{T}=\sum_i\lambda_i\pmb{p}_i\bar{\pmb{p}}_i\quad}_\blacksquare
$ \bar{\pmb p}_i\cdot\pmb T\cdot\pmb p_j=\lambda_j\bar{\pmb p}_i\cdot\pmb p_j=\lambda_j\llbracket i=j\rrbracket\iff [\pmb T]^{\sf\bar PP}_{ij}=\lambda_j\llbracket i=j\rrbracket\iff\pmb T=\sum_i\lambda_i\pmb{p}_i\bar{\pmb{p}}_i のほうが簡単だったかもtakker.icon