f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2

以下の函数方程式を全て満たす函数$ f:\Z_{\ge0}\rightarrow\Rを調べる

$ \forall m,n\in\Z_{\ge0};f(m^2+n^2)=f(m)^2+f(n)^2

$ +に関して線型で$ \bullet^2と順序を交換できる函数なら自動的に成立するなtakker.icon

$ \forall n\in\N;f(n)>0

ここで$ 0\notin\Nとする

この段階では$ fが存在するかどうかすら不明なことに注意

まずは適当に値を入れていく

$ f(0^2+0^2)=f(0)^2+f(0)^2

$ \iff f(0)=2f(0)^2

$ \iff 1=2f(0)\lor f(0)=0

$ \iff f(0)=0\lor f(0)=\frac12

$ f(0^2+1^2)=f(0)^2+f(1)^2

$ \iff f(1)=f(0)^2+f(1)^2

$ \iff f(1)=\begin{dcases}1,0\quad&\text{if }f(0)=0\\\frac12\quad&\text{if }f(0)=\frac12\end{dcases}

$ \forall m\in\Z_{\ge0};f(m^2+m^2)=f(m)^2+f(m)^2

$ \iff\forall m\in\Z_{\ge0};f(2m^2)=2f(m)^2